Теорема Остроградского-Гаусса презентация

ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА 2.1. Силовые линии электростатического поля 2.2. Поток вектора напряженности 2.3. Теорема Остроградского-Гаусса 2.4. Дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса 2.5. Вычисление электростатических полей с помощью теоремы Остроградского-Гаусса 2.5.1. Поле бесконечной однородно заряженной плоскости 2.5.2. Поле двух равномерно заряженных плоскостей 2.5.3. Поле заряженного бесконечного цилиндра (нити) 2.5.4. Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью заряда, но разным знаком 2.5.5. Поле заряженного пустотелого шара 2.5.6. Поле объемного заряженного шара

2.1. Силовые линии электростатического поля Теорема Остроградского-Гаусса устанавливает связь между электрическими зарядами и электрическим полем. Она представляет собой более общую и более изящную формулировку закона Кулона

Остроградский Михаил Васильевич (1801 – 1862) Остроградский Михаил Васильевич (1801 – 1862) отечественный математик и механик. Учился в Харьковском ун-те (1816 – 1820), совершенствовал знания в Париже (1822 – 1827). Основные работы в области математического анализа, математической физики, теоретической механики. Решил ряд важных задач гидродинамики, теории теплоты, упругости, баллистики, электростатики, в частности задачу распространения волн на поверхности жидкости (1826 г.). Получил дифференциальное уравнение распространения тепла в твердых телах и жидкостях. Известен теоремой Остроградского-Гаусса в электростатике (1828 г.).

Гаусс Карл Фридрих (1777 – 1855) немецкий математик, астроном и физик. Гаусс Карл Фридрих (1777 – 1855) немецкий математик, астроном и физик. Исследования посвящены многим разделам физики. В 1832 г. создал абсолютную систему мер (СГС), введя три основных единицы: единицу времени – 1 с, единицу длины – 1 мм, единицу массы – 1 мг. В 1833 г. совместно с В. Вебером построил первый в Германии электромагнитный телеграф. Еще в 1845 г. пришел к мысли о конечной скорости распростране­ния электромагнитных взаимодействий. Изу­чал земной магнетизм, изобрел в 1837 г. униполярный магнитометр, в 1838 г. – бифилярный. В 1829 г. Сформулировал принцип наименьшего принуждения (принцип Гаусса). Один из первых высказал в 1818 г. предположение о возможности существования неевклидовой геометрии.

силовые линии – это линии, касательная к которым в любой точке поля совпадает с направлением вектора напряженности силовые линии – это линии, касательная к которым в любой точке поля совпадает с направлением вектора напряженности

Однородным называется электростатическое поле, во всех точках которого напряженность одинакова по величине и направлению Однородным называется электростатическое поле, во всех точках которого напряженность одинакова по величине и направлению Однородное электростатическое поле изображается параллельными силовыми линиями на равном расстоянии друг от друга

Для системы зарядов силовые линии направлены от положительного заряда к отрицательному Для системы зарядов силовые линии направлены от положительного заряда к отрицательному

Густота силовых линий должна быть такой, чтобы единичную площадку, нормальную к вектору напряженности пересекало такое их число, которое равно модулю вектора напряженности , т.е. Густота силовых линий должна быть такой, чтобы единичную площадку, нормальную к вектору напряженности пересекало такое их число, которое равно модулю вектора напряженности , т.е.

Если на рисунке выделить площадку то напряженность изображенного поля будет равна Если на рисунке выделить площадку то напряженность изображенного поля будет равна

2.2. Поток вектора напряженности 2.2. Поток вектора напряженности Полное число силовых линий, проходящих через поверхность S называется потоком вектора напряженности Ф через эту поверхность В векторной форме можно записать – скалярное произведение двух векторов, где вектор.

Поток вектора напряженности через произвольную элементарную площадку dS будет равен: Поток вектора напряженности через произвольную элементарную площадку dS будет равен: В однородном поле В произвольном электрическом поле

Поток вектора через произвольную замкнутую поверхность S, окружающую точечный заряд q . Поток вектора через произвольную замкнутую поверхность S, окружающую точечный заряд q . Окружим заряд q сферой S1.

Центр сферы совпадает с центром заряда. Радиус сферы S1 равен R1. Центр сферы совпадает с центром заряда. Радиус сферы S1 равен R1. В каждой точке поверхности S1 проекция Е на направление внешней нормали одинакова и равна

Поток через сферу S2, имеющую радиус R2: Поток через сферу S2, имеющую радиус R2:

Из непрерывности линии следует, что поток и через любую произвольную поверхность S будет равен этой же величине: Из непрерывности линии следует, что поток и через любую произвольную поверхность S будет равен этой же величине: – теорема Гаусса для одного заряда.

Для любого числа произвольно расположенных зарядов, находящихся внутри поверхности: Для любого числа произвольно расположенных зарядов, находящихся внутри поверхности: – теорема Гаусса для нескольких зарядов: Поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность в вакууме равен алгебраической сумме всех зарядов, расположенных внутри поверхности, деленной на ε0.

Электрические заряды могут быть «размазаны» с некоторой объемной плотностью различной в разных местах пространства: Электрические заряды могут быть «размазаны» с некоторой объемной плотностью различной в разных местах пространства: Суммарный заряд объема dV будет равен: Тогда из теоремы Гаусса можно получить:

2.4. Дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса Пусть заряд распределен в пространстве V, с объемной плотностью . Тогда

При или При или Величину, являющуюся пределом отношения к V, при , называют дивергенцией поля Е

Дивергенция поля Е Дивергенция поля Е . Дивергенция - скалярная функция координат. В декартовой системе координат

Таким образом Таким образом Это теорема Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме. Введем векторный дифференциальный оператор (Набла) где i, j, k – орты осей (единичные векторы).

Сам по себе оператор смысла не имеет. Он приобретает смысл в сочетании с векторной или скалярной функцией, на которую символично умножается: Сам по себе оператор смысла не имеет. Он приобретает смысл в сочетании с векторной или скалярной функцией, на которую символично умножается: дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса.

В тех точках поля, где – источники поля (положительные заряды), В тех точках поля, где – источники поля (положительные заряды), В тех точках поля, где – стоки (отрицательные заряды). Линии напряженности выходят из источников и заканчиваются в стоках.

2.5. Вычисление электрических полей с помощью теоремы Остроградского-Гаусса 1. Поле бесконечной однородно заряженной плоскости

Представим себе цилиндр с образующими, перпендикулярными плоскости, и основаниями ΔS, расположенными симметрично относительно плоскости Представим себе цилиндр с образующими, перпендикулярными плоскости, и основаниями ΔS, расположенными симметрично относительно плоскости Тогда

Суммарный поток через замкнутую поверхность (цилиндр) будет равен: Суммарный поток через замкнутую поверхность (цилиндр) будет равен: Внутри поверхности заключен заряд. Следовательно, из теоремы Остроградского-Гаусса получим: откуда видно, что напряженность поля плоскости S :

2.5.2. Поле двух равномерно заряженных плоскостей Пусть две бесконечные плоскости заряжены разноименными зарядами с одинаковой по величине плотностью σ

Результирующее поле, находится как суперпозиция полей, создаваемых каждой из плоскостей. Результирующее поле, находится как суперпозиция полей, создаваемых каждой из плоскостей. Тогда внутри плоскостей Вне плоскостей напряженность поля Полученный результат справедлив и для плоскостей конечных размеров, если расстояние между плоскостями гораздо меньше линейных размеров плоскостей (плоский конденсатор).

Между пластинами конденсатора действует сила взаимного притяжения (на единицу площади пластин): Между пластинами конденсатора действует сила взаимного притяжения (на единицу площади пластин): Механические силы, действующие между заряженными телами, называют пондеромоторными.

Сила притяжения между пластинами конденсатора: Сила притяжения между пластинами конденсатора: где S – площадь обкладок конденсатора. Т.к. Это формула для расчета пондеромоторной силы

2.5.3. Поле заряженного бесконечного цилиндра (нити) 2.5.3. Поле заряженного бесконечного цилиндра (нити) Пусть поле создается бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной линейной плотностью где dq – заряд, сосредоточенный на отрезке цилиндра

Для оснований цилиндров Для оснований цилиндров для боковой поверхности т.е. зависит от расстояния r. Следовательно, поток вектора через рассматриваемую поверхность, равен

При на поверхности будет заряд По теореме Остроградского-Гаусса Тогда Если , т.к. внутри замкнутой поверхности зарядов нет.

График распределения напряженности электростатического поля цилиндра График распределения напряженности электростатического поля цилиндра

2.5.4. Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью λ, но разным знаком

Таким образом для коаксиальных цилиндров имеем: Это справедливо и для бесконечно длинного цилиндра, и для цилиндров конечной длины, если зазор между цилиндрами намного меньше длины цилиндров (цилиндрический конденсатор).

2.5.5. Поле заряженного пустотелого шара

Если то внутрь воображаемой сферы попадет весь заряд q, распределенный по сфере, тогда Если то внутрь воображаемой сферы попадет весь заряд q, распределенный по сфере, тогда откуда поле вне сферы: Внутри сферы, при поле будет равно нулю, т.к. там нет зарядов:

2.5.6. Поле объемного заряженного шара Для поля вне шара радиусом R получается тот же результат, что и для пустотелой сферы, т.е. справедлива формула:

Внутри шара при сферическая поверхность будет содержать в себе заряд, равный Внутри шара при сферическая поверхность будет содержать в себе заряд, равный где ρ – объемная плотность заряда: объем шара: Тогда, по теореме Остроградского-Гаусса:

Т.е. внутри шара Т.е. внутри шара

Таким образом, имеем: поле объемного заряженного шара