Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности презентация

Лекция 2 Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности

Вероятность суммы событий Теорема сложения вероятностей двух событий. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме их вероятностей без вероятности их произведения Вероятность суммы двух несовместных событий A и B определяется по формуле

Условные вероятности Пусть A и B – два события, рассматриваемые в некотором опыте. Наступление одного события (например, A) может влиять на возможность наступления другого (B). Для характеристики зависимости одних событий от других вводится понятие условной вероятности.

Условной вероятностью события B при условии, что произошло событие A, называется отношение вероятности произведения этих событий к вероятности события A, причем P(A)≠0, обозначается Условной вероятностью события B при условии, что произошло событие A, называется отношение вероятности произведения этих событий к вероятности события A, причем P(A)≠0, обозначается Вероятность P(B), в отличие от условной, называется безусловной вероятностью.

Вероятность произведения событий Теорема умножения вероятностей Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло:

Событие A называется независимым от события B, если его условная вероятность равна безусловной, т. е. если выполняется равенство Событие A называется независимым от события B, если его условная вероятность равна безусловной, т. е. если выполняется равенство Теорема умножения вероятностей двух независимых событий Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей:

Пример Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена равна 0,85, для второго 0,8. Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу. Найти вероятность того, что а) в мишень попадут оба спортсмена; б) в мишень попадет хотя бы один спортсмен.

Решение Опыт: по мишени стреляют два спотртсмена. Пусть событие {первый спортсмен попал в мишень} {второй спортсмен попал в мишень} {первый спортсмен промахнулся} {второй спортсмен промахнулся} Причем тогда

а) Составим событие В={в мишень попадут оба спортсмена}= а) Составим событие В={в мишень попадут оба спортсмена}= Так как события А1 и А2 независимы, то по теореме умножения получим б) С={в мишень попадет хотя бы один спортсмен} Рассмотрим событие {в мишень не попадет ни один спортсмен}=

Так как а события независимы, то

Формула полной вероятности Рассмотрим n попарно несовместных событий для которых известны вероятности отличные от нуля Событие A, которое может произойти вместе с одним из событий причем известны условные вероятности

Теорема. Пусть события Теорема. Пусть события образуют полную группу. Тогда для любого события А имеет место формула полной вероятности

События обычно называют гипотезами, они исчерпывают все возможные предположения (гипотезы) относительно исходов как бы первого этапа опыта, событие А — один из возможных исходов второго этапа. События обычно называют гипотезами, они исчерпывают все возможные предположения (гипотезы) относительно исходов как бы первого этапа опыта, событие А — один из возможных исходов второго этапа. Числа называют вероятностями гипотез.

Пример В сборочный цех завода поступает 60% деталей из цеха №1 и 40% -- из цеха №2. Известно, что из каждых 100 деталей, изготовленных цехом №1, 95 удовлетворяет стандарту, а из 100 деталей цеха №2, удовлетворяют стандарту 85 деталей. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь будет удовлетворять стандарту.

Решение. Опыт: в сборочный цех поступают детали из цеха №1 и цеха №2. Решение. Опыт: в сборочный цех поступают детали из цеха №1 и цеха №2. А={взятая наудачу деталь стандартна} Гипотезы: = {деталь изготовлена цехом №1} = {деталь изготовлена цехом №2}

Схема Бернулли. Формула Бернулли. С понятием «независимых событий» связано понятие «независимых испытаний (опытов)». Несколько опытов называются независимыми, если их исходы представляют собой независимые события. При практическом применении теории вероятностей часто используется стандартная схема, называемая схемой Бернулли или схемой независимых испытаний.

Схема Бернулли Схема Бернулли Последовательность n независимых испытаний, в каждом из которых может произойти некоторое событие A (его называют успехом) с вероятностью p или противоположное ему событие (его называют неудачей) с вероятностью q=1-p называется схемой Бернулли.

Формула Бернулли Простейшая задача, относящаяся к схеме Бернулли, состоит в определении вероятности того, что в n независимых опытах событие А наступит m раз (0≤m≤n). Обозначается искомая вероятность так:

Теорема. Теорема. Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A равна p, а вероятность его не появления равна q=1-p, то вероятность того, что событие A произойдет m раз определяется формулой Бернулли

Вероятность того, что в n опытах схемы Бернулли событие A появится от до раз определяется по формуле Вероятность того, что в n опытах схемы Бернулли событие A появится от до раз определяется по формуле Вероятность того, что в n опытах событие A появится хотя бы один раз, определяется формулой  

Предельные теоремы в схеме Бернулли Использование формулы Бернулли при больших значениях n и m вызывает большие трудности, так как это связано с громоздкими вычислениями. Рассмотрим три предельные теоремы, содержащие асимптотические формулы для вычисления биномиальной вероятности при

Теорема Пуассона Теорема. Если число испытаний неограниченно увеличивается и вероятность p наступления события A в каждом испытании неограниченно уменьшается, но так, что их произведение np является постоянной величиной (np=a=const), то вероятность удовлетворяет предельному равенству

Из предельного равенства (1) при больших n и малых p вытекает приближенная формула Пуассона Из предельного равенства (1) при больших n и малых p вытекает приближенная формула Пуассона Эту формулу применяют, когда вероятность p успеха крайне мала, т. е. сам по себе успех является редким событием, но количество испытаний n велико, среднее число успехов не значительно. Приближенную формулу обычно используют, когда n≥50,np≤10.

Пример Вероятность изготовления нестандартной детали p=0,004. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется: А) 5 нестандартных; Б) от 3 до 5 нестандартных.

Решение.

Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа В тех случаях, когда число испытаний n велико, а вероятность p не близка к нулю, для вычисления биномиальных вероятностей используют теоремы Муавра-Лапласа.

Теорема (Локальная теорема Муавра-Лапласа). Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность может быть вычислена по приближенной формуле Теорема (Локальная теорема Муавра-Лапласа). Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность может быть вычислена по приближенной формуле Где

Равенство (2) тем точнее, чем больше n. Равенство (2) тем точнее, чем больше n. Выражение называется функцией Гаусса, а ее график — кривой вероятностей

Для функции составлены таблицы значений (они находятся, как правило, в так называемых «Приложениях» книг по теории вероятностей). Для функции составлены таблицы значений (они находятся, как правило, в так называемых «Приложениях» книг по теории вероятностей). Пользуясь таблицей, следует учитывать, что: а) функция четная, т.е.   б) при x≥4 можно считать, что

Пример Вероятность изделия детали первого сорта на данном станке равна 0,8. Найти вероятность того, что среди наугад взятых 100 деталей окажется 75 деталей первого сорта. Решение. А={деталь первого сорта} По условию n=100, m=75, p=0,8, тогда q=1-0,8=0,2

По таблице Тогда

Теорема (Интегральная теорема Муавра—Лапласа). Теорема (Интегральная теорема Муавра—Лапласа). Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность может быть найдена по приближенной формуле

Пример Производство дает 1% брака. Какова вероятность того, что из взятых на исследование 1100 изделий выбракованных будет не более 17? Решение. А={деталь бракованная} По условию n=1100, 0≤m≤17, p=0,01, тогда q=1-0,01=0,99. Тогда

По таблице значений функции - функции Лапласа, получаем: