Внеурочное занятие «Элементы геометрии Н.И. Лобачевского » презентация

Внеурочное занятие «Элементы геометрии Н.И. Лобачевского»

Геометрия оформилась в стройную математическую науку, имеющую прикладное значение, в III веке до н.э. в работах древнегреческого математика Евклида.

Евклид написал Евклид написал 13 книг по геометрии под общим названием «Начала», по ним в течение ряда веков обучались геометрии. Даже в настоящее время в Англии изучение геометрии в школах ведётся по «Началам» Евклида.

Постулаты Евклида

Пятый постулат, однако, не разделяет изящества братьев: Пятый постулат, однако, не разделяет изящества братьев: (5) Если проведены две линии, которые пересекаются третьей линией таким образом, что сумма внутренних углов на данной стороне меньше чем два прямых угла, тогда эти две прямых линии неизбежно должны пересечься друг с другом на этой стороне, если их продолжить неопределенно долго.

В течение более двух тысяч лет учёные всех стран считали, что иной геометрии, кроме Евклидовой, быть не может. С целью доказать это они старались на основе прочих аксиом доказать пятый постулат Евклида: В течение более двух тысяч лет учёные всех стран считали, что иной геометрии, кроме Евклидовой, быть не может. С целью доказать это они старались на основе прочих аксиом доказать пятый постулат Евклида: «Через одну и ту же точку нельзя провести двух различных прямых, параллельных одной и той же прямой».

Великий русский учёный-геометр Н.И. Лобачевский в 1826 году установил недоказуемость аксиомы о параллельных прямых тем, что построил неевклидову геометрию, геометрию Лобачевского. Великий русский учёный-геометр Н.И. Лобачевский в 1826 году установил недоказуемость аксиомы о параллельных прямых тем, что построил неевклидову геометрию, геометрию Лобачевского.

В основе этой геометрии лежат все аксиомы геометрии Евклида, за исключением пятого постулата, который Н.И.Лобачевский сформулировал так: В основе этой геометрии лежат все аксиомы геометрии Евклида, за исключением пятого постулата, который Н.И.Лобачевский сформулировал так: «Через точку, взятую вне прямой на плоскости, определяемой ими, можно провести не менее двух прямых, не пересекающих данную».

перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой, расположенные в одной плоскости, могут не пересекаться; сумма всех внутренних углов треугольника меняется от треугольника к треугольнику (зависит от его сторон), но всегда меньше 180º;

Исходя из этих аксиом, принятых геометрией Лобачевского, в качестве теорем доказывается, что: Исходя из этих аксиом, принятых геометрией Лобачевского, в качестве теорем доказывается, что: сумма всех внутренних углов всякого выпуклого четырёхугольника меньше 360º. Отсюда как следствие вытекает: прямоугольника не существует; геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой и расположенных по одну сторону от неё на плоскости, не может быть прямой (а есть всегда кривая линия).

Реальна ли геометрия Лобачевского? Реальна ли геометрия Лобачевского? Чтобы ответить на это надо, прежде всего, ответить на вопрос, что нужно понимать под точкой, прямой и плоскостью. ТОЧКА - это ШАР радиуса r. ПРЯМАЯ - это бесконечный круговой ЦИЛИНДР радиуса r. ПЛОСКОСТЬ - это ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА толщиной 2r.

Если нарисовать треугольник на листе, а затем свернуть лист в цилиндр, то стороны треугольника становятся кривыми линиями. Если нарисовать треугольник на листе, а затем свернуть лист в цилиндр, то стороны треугольника становятся кривыми линиями. Линии на поверхности цилиндра, которые при развёртывании цилиндра на плоскость переходят в прямые, называются геодезическими линиями цилиндра.

Геодезическими линиями какой-нибудь поверхности обычно называют линии кратчайшего расстояния между двумя точками поверхности. Если за «точки» принять точки цилиндра, а за «прямые» - геодезические линии цилиндра, тогда на цилиндре будет выполняться евклидова планиметрия. Геодезическими линиями какой-нибудь поверхности обычно называют линии кратчайшего расстояния между двумя точками поверхности. Если за «точки» принять точки цилиндра, а за «прямые» - геодезические линии цилиндра, тогда на цилиндре будет выполняться евклидова планиметрия.

Посмотрим, какая геометрия выполняется на сфере, если за «точки» принять точки этой сферы, а за «прямые» - её геодезические линии (сфера без растяжения, путём одного только изгибания, на плоскость не развёртывается и геодезические линии её не могут, как у цилиндра переходить в прямые).

Геодезическими линиями на сфере являются дуги больших кругов, они имеют общий центр в центре сферы и попарно пересекаются. Поэтому на сфере нет параллельных «прямых». Следовательно, через «точку», взятую вне «прямой», на сфере нельзя провести ни одной «прямой», параллельной данной. Геодезическими линиями на сфере являются дуги больших кругов, они имеют общий центр в центре сферы и попарно пересекаются. Поэтому на сфере нет параллельных «прямых». Следовательно, через «точку», взятую вне «прямой», на сфере нельзя провести ни одной «прямой», параллельной данной.

Характерной особенностью этой геометрии сферы является то, что сумма внутренних углов треугольника больше двух прямых углов. Характерной особенностью этой геометрии сферы является то, что сумма внутренних углов треугольника больше двух прямых углов.

Этот факт легко усматривается на чертеже или модели. Геометрия сферы есть простейшая модель так называемой неевклидовой геометрии Римана.

Итак, реальна ли геометрия Лобачевского? Да, реальна, поскольку она выполняется на реальных поверхностях. Оказывается геометрия Лобачевского (планиметрия) выполняется на поверхности псевдосферы (поверхность вращения трактрисы вокруг оси).

Трактриса. Эвольвента цепной линии, плоская кривая, уравнение которой в прямоугольных декартовых координатах имеет вид:

Если на этой поверхности начертить геодезический треугольник, то сумма внутренних углов такого треугольника будет уже меньше двух прямых углов (180), то есть будет выполняться то, что утверждает Н.И.Лобачевский в своей геометрии. Этот факт легко усматривается на чертеже или модели псевдосферы. Если на этой поверхности начертить геодезический треугольник, то сумма внутренних углов такого треугольника будет уже меньше двух прямых углов (180), то есть будет выполняться то, что утверждает Н.И.Лобачевский в своей геометрии. Этот факт легко усматривается на чертеже или модели псевдосферы.

Таким образом, геометрия Лобачевского нашла своё реальное истолкование на поверхности псевдосферы.

Открытие геометрии Лобачевского составляет целую эпоху в науке. Идеи Лобачевского находят широкое применение в современной физике. Например, по замыслу Н.И.Лобачевского строятся современные теории механики мирового пространства. Открытие геометрии Лобачевского составляет целую эпоху в науке. Идеи Лобачевского находят широкое применение в современной физике. Например, по замыслу Н.И.Лобачевского строятся современные теории механики мирового пространства.

Геометрия Лобачевского нашла своё непосредственное приложение в теории функций комплексного переменного. Ещё сам Лобачевский использовал свою геометрию для вычисления определённых интегралов. Геометрия Лобачевского нашла своё непосредственное приложение в теории функций комплексного переменного. Ещё сам Лобачевский использовал свою геометрию для вычисления определённых интегралов. Мы гордимся тем, что неевклидова геометрия открыта в России и что её открыл русский учёный Н.И.Лобачевский.