Вписанные углы

Учитель математики БОУСОШ №1 Колокольцева А.В.

Угол вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом. Вписанный  АВС опирается на  АМС. Угол вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом. Вписанный  АВС опирается на  АМС.

Пусть  АВС – вписанный угол окружности с центром О, опирающийся на  АС. Докажем, что  АВС = половине  АС (на которую он опирается). Существует 3 возможных случая расположения луча ВО относительно  АВС. Рассмотрим их. Пусть  АВС – вписанный угол окружности с центром О, опирающийся на  АС. Докажем, что  АВС = половине  АС (на которую он опирается). Существует 3 возможных случая расположения луча ВО относительно  АВС. Рассмотрим их.

Например луч совпадает со стороной ВС в этом случае  АС меньше полуокружности, поэтому  АОС=  АС. Так как  АОС  внешний угол равнобедренного  АВО, а  1 и  2 при основании равнобедренного треугольника равны, то  АОС =  1+  2 = 21. Отсюда следует, что 21 = АС или  АВС =  1 = 1/2  АС. Например луч совпадает со стороной ВС в этом случае  АС меньше полуокружности, поэтому  АОС=  АС. Так как  АОС  внешний угол равнобедренного  АВО, а  1 и  2 при основании равнобедренного треугольника равны, то  АОС =  1+  2 = 21. Отсюда следует, что 21 = АС или  АВС =  1 = 1/2  АС.

В этом случае луч ВО пересекает  АС в некоторой точке D. Точка D разделяет  АС на две дуги: АD и DC. По доказанному в п.1  АВD = 1/2 AD и  DBC= 1/2  DC. Складывая эти равенства попарно, получаем:  ABD +  DBC = 1/2  АD + 1/2  DC, или  АВС= 1/2  АС. В этом случае луч ВО пересекает  АС в некоторой точке D. Точка D разделяет  АС на две дуги: АD и DC. По доказанному в п.1  АВD = 1/2 AD и  DBC= 1/2  DC. Складывая эти равенства попарно, получаем:  ABD +  DBC = 1/2  АD + 1/2  DC, или  АВС= 1/2  АС.

 АВD равнобедренный,  AOD - внешний, т.к.  ABD - равнобедр. То  1 =  2 =>  AOD =  1 +  2 = 21 =  AD, следовательно  ABD = 1/2  AD.  АВD равнобедренный,  AOD - внешний, т.к.  ABD - равнобедр. То  1 =  2 =>  AOD =  1 +  2 = 21 =  AD, следовательно  ABD = 1/2  AD. Аналогично:  ВСО равнобедр.  COD - внешний, следовательно  СВD= 1/2  CD. Следовательно,  АВС=1/2  АС

Вписанные углы , опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Вписанные углы , опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность  прямой. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность  прямой.