Рациональные уравнения

Способ подстановки При решении некоторых целых рациональных уравнений есть смысл ввести новую переменную величину, обозначив некоторое рациональное выражение новой буквой. Например, в уравнении , где Р(х) – многочлен, удобно ввести новую переменную y=Р(х), решить полученное квадратное уравнение относительно y и, наконец, решить уравнение Р(х)= yо, где yо – корень уравнения

Пример Решите уравнение Решение. Введем новую переменную. Пусть Тогда получим уравнение Находим корень у = 1 и делаем обратную подстановку. Ответ: 2; 3.

Распадающееся уравнение Рациональное уравнение называется распадающимся, если его можно привести к виду , где – рациональные выражения с переменной х. Для решения воспользуемся равносильным переходом Применяемые приемы разложения на множители: - вынесение общего множителя за скобки; - способ группировки; -формулы сокращенного умножения.

Пример Решите уравнение Решение. Разложим левую часть уравнения на множители: Воспользуемся равносильным переходом: Ответ:-2;0;1;2.

Однородное уравнение 2-го порядка При решении уравнения надо проверить две ситуации: 1) т.е. корнями заданного уравнения являются решения этой системы. 2) Если Q(x) ≠ 0, то после деления заданного уравнения на Q2(x) получим уравнение которое подстановкой сводится к квадратному уравнению В ответ включают числа, полученные при рассмотрении обеих ситуаций.

Пример Решить уравнение (x2 – 2х)2 – (x2 – 2х)(x2 – х – 2) – 2(x2 – х – 2)2 = 0. Решение. Возможны две ситуации. Рассмотрим первую:

Продолжение решения Рассмотрим вторую ситуацию: разделим почленно заданное уравнение на (x2 – х – 2)2 при условии, что х ≠ -1 и х ≠ 2. Уравнение принимает вид Обозначим и решим квадратное уравнение t2 – t –2 = 0. Получаем t1= -1, t2= 2. Обратная подстановка дает уравнения откуда х = -0,5 и х = -2. С учетом обеих ситуаций получаем ответ: - 0,5; -2; 2.

Биквадратное уравнение Уравнение имеет вид aх4+bх2+c=0. Сделаем подстановку x2 = t. Значит, x4 = t2. Получаем квадратное уравнение at2+bt+c=0. Находим значения t и, сделав обратную подстановку, находим корни исходного уравнения. Замечание. При решении биквадратного уравнения можно получить от 1 до 4-х корней или же это уравнение может совсем не иметь корней.

Пример Решите уравнение х4–3х2–4=0. Решение. Сделаем подстановку x2 = t. Получаем квадратное уравнение t2–3t–4=0, корни которого t = -1 и t = 4. Обратная замена дает два уравнения x2 = -1 и x2 = 4, из которых первое уравнение не имеет корней, а корни второго уравнения -2 и 2. Ответ: -2; 2.

Симметричное уравнение 3-го порядка Уравнение имеет вид ах3+bх2+bх+а=0. Сгруппируем слагаемые: а(х3+1)+bх(х+1)=0. Применим формулу суммы кубов а(х+1)(х2 –х+1)+bх(х+1)=0 и выполним разложение на множители (х+1)(ах2+(b - а)х+а)=0. Получили распадающееся уравнение. Значит, х+1=0 или ах2+(b - а)х+а=0. Решив эти два уравнения, найдем корни исходного уравнения.

Пример Решите уравнение 2х3–3х2– 3х +2=0. Решение. Сгруппируем слагаемые парами и в каждой паре вынесем общий множитель за скобки: 2(х3+1)–3х(х+1)=0. Применим формулу суммы кубов и вынесем общий множитель (х+1): 2(х+1)(х2 –х+1)– 3х(х+1)=0, (х+1)(2х2 –5х+2)=0. Значит, х+1=0 или 2х2 –5х+2=0. Решив эти два уравнения, найдем корни исходного уравнения: -1; 0,5; 2. Ответ: -1; 0,5; 2.

Симметричное уравнение 4-го порядка Уравнение имеет вид ах4+bх3+сх2+bх+а=0. Сгруппируем слагаемые и разделим обе части уравнения на х2. Получаем Сделаем подстановку , тогда Получаем квадратное уравнение a(t2-2)+bt+c=0. Находим значения t и делаем обратную подстановку.

Пример Решите уравнение Решение. Разделим обе части уравнения на x2 ≠ 0 и, удобно группируя, получим равносильное уравнение: Сделаем подстановку , тогда Получаем квадратное уравнение , корни которого 2 и -3,5. Обратная подстановка дает два рациональных уравнения и откуда и находим корни исходного уравнения. Ответ: 1;

Возвратное уравнение Уравнение вида ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, где   a ≠ 0,   b ≠ 0 и , называется возвратным уравнением четвертого порядка. Это уравнение сводится к квадратному с помощью подстановки

Пример Решить уравнение x4 + x3 - 6x2 - 2x + 4 = 0. Решение. Заметим, что и, следовательно, данное уравнение есть возвратное уравнение четвертого порядка. Так как x = 0 не является решением уравнения, разделим на x2 и получим равносильное уравнение Обозначим , тогда и уравнение примет вид t2 + t - 2 = 0, корни которого t1 = -2 и t2 = 1. Делаем обратную замену и после умножения на x ≠ 0 получаем два квадратных уравнения x2 + 2x - 2 = 0, x2 - x - 2 = 0, откуда и получим корни исходного уравнения. Ответ:

Уравнения вида (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m Если a + b = c + d , то это уравнение сводится к квадратному уравнению. Действительно, (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab (x + c)(x + d) = x2 + (c + d)x + cd = = x2 + (a + b)x + cd Обозначив x2 + (a + b)x = t, получим квадратное уравнение (t + ab)(t + cd) = m Из этого уравнения найдем значения t и, сделав обратную подстановку, закончим решение исходного уравнения.

Пример Решить уравнение (x - 2)(x + 1)(x + 4)(x + 7) = 19. Решение. Заметим, что -2 + 7 = 1 + 4. Удобно группируя, получим [(x - 2)(x + 7)]·[(x + 1)(x + 4)] = 19 или (x2 + 5x – 14 )(x2 + 5x + 4) = 19. Обозначим t = x2 + 5x - 14, тогда x2 + 5x + 4 = t + 18. Уравнение примет вид t(t + 18) = 19   или   t2 + 18t - 19 = 0, откуда t = -19 и t = 1. Сделав обратную подстановку, получим x2 + 5x - 14 = -19 и x2 + 5x - 14 = 1. Окончательный ответ:

Уравнение вида (x + a)4 + (x + b)4 = c Используя подстановку , уравнение можно свести к биквадратному уравнению относительно t. Действительно, подставив в уравнение , получим Обозначим и возведем каждое слагаемое в 4-ю степень. После приведения подобных получим биквадратное уравнение

Пример Решить уравнение (x + 3)4 + (x - 1)4 = 82. Решение. Сделаем подстановку Получим следующее уравнение относительно t: (t + 2)4 + (t - 2)4 = 82 или t4 + 8t3 + 24t2 + 32t + 16 + t4 - 8t3 + 24t2 - 32t + 16 - 82 = 0. Откуда получим биквадратное уравнение t4 + 24t2 - 25 = 0, корни которого t = ± 1. Следовательно, x + 1 = ± 1. Значит, корни исходного уравнения x = -2 и x = 0. Ответ: -2;0.

Уравнение вида Решить уравнение Р(х) = 0. Для каждого корня уравнения Р(х) = 0 сделать проверку: удовлетворяет ли он условию Q(х) ≠ 0 или нет. Если да, то это — корень заданного уравнения, а если нет, то этот корень является посторонний для заданного уравнения и в ответ его включать не следует.

Пример Решите уравнение   Решение. Приравняем числитель дроби к нулю и решим полученное уравнение:    Значение х = 2 не удовлетворяет условию Следовательно, уравнение имеет один корень х= 4. Ответ: 4.

Уравнение вида Подстановкой это уравнение сводится к виду Умножим на и решим полученное квадратное уравнение относительно t. Остается сделать обратную подстановку где tо - корень квадратного уравнения, и решить полученное уравнение относительно х.

Уравнение вида Подстановкой это уравнение сводится к виду Умножим на и решим полученное квадратное уравнение относительно t. Остается сделать обратную подстановку где tо - корень квадратного уравнения, и решить полученное уравнение относительно х.

Пример Решите уравнение   Решение. Сделаем подстановку и решим полученное уравнение относительно t :    Обратная подстановка приводит к уравнению корень которого х = -1. Ответ: -1.

Уравнения, состоящие из суммы двух и более дробей 1-й способ Перенести все члены уравнения в одну часть. Привести уравнение к виду и найти корни полученного уравнения. 2-й способ Определить О.Д.З. уравнения. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель дробей и получить целое уравнение. Найти корни полученного уравнения и проверить их соответствие О.Д.З.

Пример Решите уравнение   Решение. Найдём О.Д.З. Знаменатели дробей не могут обращаться в нуль . Значит, О.Д.З. уравнения: х ≠ 2 и х ≠ 0. Перенесём члены из правой части уравнения в левую и приведём к общему знаменателю.    . Приравняем числитель дроби к нулю: х2 – 6х + 8 = 0. Находим корни квадратного уравнения: х = 4 и х = 2. Значение х = 2 не удовлетворяет О.Д.З. Следовательно, уравнение имеет один корень х= 4. Ответ: 4.

Уравнения вида Данное уравнение сводится к квадратному уравнению заменой переменной

Пример Решить уравнение Решение. О.Д.З. уравнения есть множество Поскольку x = 0 не является решением данного уравнения, перепишем уравнение в виде (разделим числитель и знаменатель каждой дроби на x). Обозначим и уравнение примет вид

Продолжение решения О.Д.З. полученного уравнения t ≠ 5 и t ≠ -1. Решая это уравнение, приходим к квадратному уравнению   2t2 - 13t + 11 = 0, корни которого t1 = 1 и t2 = 11/2 удовлетворяют О.Д.З.. Делаем обратную подстановку и получаем два рациональных уравнения решив которые находим корни заданного уравнения. Ответ:

Литература Алгебра и математический анализ, 10 Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд Алгебра и начала анализа. 8 – 11 кл. Пособие для школ и классов с углубл. изучением математики (серия «Дидактические материалы») Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина М.В.