Теорема Виета

Теорема Виета

Квадратное уравнение Квадратным уравнением называется уравнение вида ax2+bx+c=0, где a, b, с  R (a  0). Числа a, b, с носят следующие названия: a - первый коэффициент, b - второй коэффициент, с - свободный член.

Приведенное уравнение Если в уравнении вида: ax2+bx+c=0, где a, b, с  R а = 1, то квадратное уравнение вида x2+px+q=0 называется приведенным.

Теорема Виета Сумма корней приведенного квадратного трехчлена x2 + px + q = 0  равна его второму коэффициенту p с противоположным знаком, а произведение – свободному члену q. Т. е.  x1 + x2 = – p  и   x1 x2 = q

Применение теоремы Виета Теорема Виета замечательна тем, что, не зная корней квадратного трехчлена, мы легко можем вычислить их сумму и произведение, то есть простейшие симметричные выражения x1 + x2 и x1 x2.

Вычисление корней Так, еще не зная, как вычислить корни уравнения: x2 + 2x – 8 = 0, мы, тем не менее, можем сказать, что их сумма должна быть равна – 2, а произведение должно равняться –8.

Пример Теорема Виета позволяет угадывать целые корни квадратного трехчлена. Так, находя корни квадратного уравнения x2 – 7x + 10 = 0, можно начать с того, чтобы попытаться разложить свободный член (число 10) на два множителя так, чтобы их сумма равнялась бы числу 7.

Решение Это разложение очевидно: 10 = 5  2, 5 + 2 = 7. Отсюда должно следовать, что числа 2 и 5 являются искомыми корнями.