Аналитические функции распределения, используемые в гидрологии (лекция 3) презентация

Аналитические функции распределения, используемые в гидрологии (Ахметов С.К.)

Распределение Пирсона (общее) Это одно - модальное распределение СВ с положительной асимметрией, которое описывается дифференциальным уравнением Пирсона в общем виде

Распределение Пирсона III типа В практике гидрологических расчетов наибольшее распространение получила кривая Пирсона III типа, для которой b2 = 0, тогда уравнение Пирсона приобретает вид

Дифференциальное уравнение распределения плотности вероятности по Пирсону III типа получается выражение для функции плотности вероятности

Дифференциальное уравнение распределения плотности вероятности по Пирсону III типа Минимальное значение модульного коэффициента определяется по формуле kmin = 1 - 2Cv/ Cs Из этого следует, что

Интегральное распределение Пирсона III типа Зная Cs и Cv можно получить численные значения параметров kmin, α, β и записать выражение для вычисления обеспеченностей модульных коэффициентов

Интегральное распределение Пирсона III типа Однако в общем случае, если Пирсона III типа выражается не упрощенной формулой,

Распределение Крицкого – Менкеля Кривая Пирсона III типа широко используется в гидрологии, но при Cs < 2Cv она уходит в область отрицательных значений. Одно из решений этой проблемы найдено Крицким и Менкелем. В качестве исходной кривой распределения они взяли кривую Пирсона III типа при Cs = 2Cv.

Распределение Крицкого – Менкеля Крицкий и Менкель изменили аргумент z в новую переменную k= αzb где a и b – параметры. При этом предполагалось, что МО новой переменной равно единице, т.е. M[k]= M[azb]=1 С учетом сказанного и после ряда преобразований Крицкий и Менкель получили новое распределение с плотностью вероятности

Распределение Крицкого – Менкеля Начальный момент i – го порядка этого распределения связан с параметрами α, a, b соотношением

Распределение Крицкого – Менкеля описывает функцию плотности распределения вероятности через Г-функцию, то есть теперь трехпараметрическое гамма-распределение стало двухпараметрическим, так как зависит от параметров α и b, которые с учетом формулы

Распределение Крицкого – Менкеля Основные особенности кривой Крицкого и Менкеля: кривая плотности вероятности является одно - модальной с положительной асимметрией нижним пределом кривой является нуль кривая не ограничена верхним пределом - при Cs = 2Cv кривая превращается в двухпараметрическое Г-распределение, т.е. совпадает с кривой Пирсона III типа

Распределение Джонсона Если исходную СВ Х преобразовать по формуле

Распределение Джонсона При расчете ординат кривой обеспеченности Джонсона используются таблицы нормированной нормально распределенной СВ t, но при расчете mz и σz. (при известных a и b) исходный ряд преобразуется по формуле

Графическое представление функций распределения на клетчатке вероятностей На клетчатке вероятностей по оси абсцисс откладываются значения обеспеченности в %. По оси ординат - либо значение исследуемой СВ, либо ее модульные коэффициенты, либо ее нормированные значения. Клетчатка вероятностей м. б. построена только для распределений с двумя изменяемых параметра: обычно mz и СКО. Доп. параметры, такие как Cs, должны быть постоянными. Для 3- параметрического распределения нужно иметь клетчатку вероятностей для каждого соотношения Cs/Cv. Наиболее распространенной является клетчатка вероятностей для нормального закона распределения (при котором Cs =0). Для нормальный закон распределения, в качестве исходных принимается кривая обеспеченности с параметрами:

Рекомендации по выбору кривой распределения Выбор типа функции распределения нужно производить с учетом области изменения ее аргумента Для заведомо положительных величин (расход воды, слой осадков и т.д.) наиболее подходящими будут кривые логнормального распределения, Крицкого и Менкеля, Пирсона III типа, имеющие нижний предел, но не ограниченные сверху Для температуры воды или воздуха больше подходят кривые распределения с диапазоном изменения от -∞ до +∞.  

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!