Численное решение систем линейных алгебраических уравнений СЛАУ презентация

Численное решение систем линейных алгебраических уравнений С Л А У

Общий вид СЛАУ где a – коэффициенты системы, b – свободные члены, х – неизвестные n – количество уравнений в системе и количество неизвестных (порядок системы)

Запись СЛАУ в матричной форме

При решении СЛАУ возможно возникновение 3 случаев: 1. Пример: 2. Пример: 3. Пример:

2 класса методов решения СЛАУ: 1. Прямые методы. 2. Итерационные методы.

Прямые методы Достоинство: устойчивость методов. Недостаток: точность решения зависит от особенностей метода и от количества уравнений.

Итерационные методы Достоинство: точность решения задается пользователем. Недостаток: методы являются неустойчивыми.

Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) Является прямым методом. Исходные данные: А В

Алгоритм метода Гаусса: Ввод исходных данных. Прямой ход. Обратный ход. Вывод результатов.

Метод Гаусса для 3 уравнений с 3-мя неизвестными (система 3-го порядка) 1. х1: 2. х1 подставляется во все оставшиеся уравнения системы.

Получим следующее: Получим следующее: 3. Новые обозначения:

Новая система: Новая система: 4. х2: 5. х2 подставляется во все оставшиеся уравнения системы.

Получим следующее: Получим следующее: 6. Новые обозначения: Новая система в верхнетреугольном виде:

7. Неизвестные вычисляются в обратном порядке (обратный ход): 7. Неизвестные вычисляются в обратном порядке (обратный ход):

Блок-схема метода Гаусса ввод исходных данных прямой ход обратный ход вывод результатов

ЗАМЕЧАНИЕ ЗАМЕЧАНИЕ В случае единственности решения СЛАУ методом Гаусса всегда находится необходимое решение. Необходимо выполнения условия:

Метод Зейделя (метод простых итераций) Является итерационным методом. Исходные данные: А В Х(0) Е

Метод Зейделя для 3 уравнений с 3-мя неизвестными Из 1-го уравнения выражаем неизвестное х1, из 2-го уравнения - х2, из 3-го - х3.

Получим новую систему: Получим новую систему: 2. В правую часть 1-го уравнения подставляем начальные приближения неизвестных х2(0) и х3(0). Получаем уточненное значение неизвестного х1(1). 3. В правую часть 2-го уравнения подставляем начальное приближение неизвестного х3(0) и уточненное значение х1(1). Получаем уточненное значение неизвестного х2(1). 4. В правую часть 3-го уравнения подставляем уточненные значения неизвестных х1(1) и х2(1). Получаем уточненное значение неизвестного х3(1).

5. Далее рассчитывается разность между значениями начальных приближений и уточненными значениями неизвестных. Если то считается, что значения х1(1), х2(1), х3(1) являются решением данной системы. В противном случае эти значения принимаются за начальное приближение и процесс повторяется.

ЗАМЕЧАНИЕ ЗАМЕЧАНИЕ Метод Зейделя является итерационным, итерации сходятся не всегда. Итерации всегда сходятся при выполнении следующего условия: условие преобладания диагональных коэффициентов.

Метод Крамера для решения СЛАУ 2-го и 3-го порядка Прямой метод. Метод линейной алгебры. Исходные данные: А В

Условие существования единственного решения СЛАУ det A ≠ 0

Метод Крамера для системы 2-го порядка

Метод Крамера для системы 3-го порядка

Окончательные формулы: Для систем более высоких порядков метод Крамера практически не применяется

Реализация метода Крамера в электронных таблицах Реализация метода Крамера в электронных таблицах Microsoft Excell Функция МОПРЕД(матрица)

Функция МОПРЕД

Пример расчета определителя