Дифференциальным уравнением презентация

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, содержащее производные от искомой функции или её дифференциалы. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, содержащее производные от искомой функции или её дифференциалы.

Примеры ДУ:

Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком ДУ. Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком ДУ. Решением ДУ называется такая функция, подстановка которой в уравнение обращает его в тождество.

Пример 1. Показать, что данная функция является решением ДУ

Решение: Т.о. функции вида являются решениями данного ДУ при любом выборе постоянных С1 и С2:

Дифференциальные уравнения I порядка

Общим решением ДУ I порядка называется функция , которая зависит от одного произвольного постоянного С.

Частным решением ДУ I порядка называется любая функция полученная из общего решения при конкретном значении постоянной С=С0.

Пример 2. ДУ:

Геометрически: Общее решение ДУ есть семейство интегральных кривых на плоскости Оху; Частное решение ДУ -одна кривая этого семейства, проходящая через точку

Задача отыскания конкретного частного решения данного ДУ по начальным данным называется задачей Коши (Cauchy). Задача отыскания конкретного частного решения данного ДУ по начальным данным называется задачей Коши (Cauchy).

Пример 3. Решить задачу Коши:

Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Если в уравнении функция f(x,y) и её частная производная непрерывны в некоторой области D, содержащей точку (х0;у0), то существует единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию

1. ДУ I порядка с разделёнными переменными. Если каждая часть ДУ представляет собой произведение некоторого выражения, зависящего от одной переменной, на дифференциал этой переменной, то говорят, что переменные в этом уравнении разделены. В этом случае уравнение достаточно проинтегрировать:

Пример 4. Решить ДУ:

Пример 5. Решить ДУ:

2. ДУ I порядка с разделяющимися переменными. Уравнения, в которых переменные разделяются, называются ДУ с разделяющимися переменными.

Замечание: При проведении почленного деления ДУ на могут быть потеряны некоторые решения. Поэтому следует отдельно решить уравнение и установить те решения ДУ, которые не могут быть получены из общего решения- особые решения.

Пример 6. Найти общее и частное решение ДУ:

Пример 7. Найти общее решение ДУ:

Пример 8. Найти общее решение ДУ:

Пример 9. Решить задачу Коши:

Пример 10. Решить задачу Коши: