Презентация, доклад Элементы символической логики

Символическая логика она же символическая формируется в XIX веке, благодаря Готлобу Фреге и Бертрану Расселу состоит в обширном использовании символов для привычных логических форм, которые делают логическое рассуждение более сжатым и наглядным

Логика высказываний

Высказывание мысль, выраженная повествовательным предложением, которая может быть истинной или ложной

Формальный аппарат А, В, С…. – пропозициональные переменные (формулы), отражающие независимый факт;  – униарная связка-юнктор; ,  , … – бинарные связки-юнкторы; () – технические знаки; (А  В), ( А)…. – формулы.

Юнкторы логики высказываний

Преобразование конъюнкции в дизъюнкцию (А  В) = (А  В) в импликацию (А  В) = (А → В)

Преобразование дизъюнкции в конъюнкцию (А  В) = (А  В) в импликацию (А  В) = (А → В)

Преобразование импликации в конъюнкцию (А → В) = (А  В) в дизъюнкцию (А → В) = (А  В)

Преобразование строгой дизъюнкции в конъюнкцию (А  В) = (А  В)  (А  В)

Правило подстановки любую буквенную переменную в символическом выражении можно заменять на произвольную формулу Например, (p  p) p = (a ↔ b) ((a ↔ b)  (a ↔ b))

Законы символической логики

Закон ассоциативности (А  (В  С)) = ((А  В)  С) (А  (В  С)) = (А  В)  С)

Закон дистрибутивности для двух переменных (А  (В  С)) = (А  В)  (А  С) (А  (В  С)) = (А  В)  (А  С) для большего количества переменных (А  В)  (С  D) = (А  C) (А  D)  (B  C)  (B  D) (А  В)  (C  D) = (А  C)  (А  D)  (B  C)  (B  D)

Закон двойственности для конъюнкции и дизъюнкции (А  В) = (А  В) (А  В) = (А  В) для эквивалентности и строгой дизъюнкции (А ↔ В) = ( В   А) (А  В) = ( В ↔  А)

Закон контрапозиции (А → В) = (А → В) ((А  В) → С) = (С →(А В))

Закон транспозиции ((А  В) → С) = ((А  С) → В)

Закон поглощения (А  (А  В)) = А (А  (А  В)) = А

Логика предикатов результат реконструкции естественного языка Здесь есть точные правила построения высказываний (формул) и сложных имен (термов) Этот язык предназначен для аксиоматического построения теорий, для анализа содержания высказываний естественного языка и выявления логических отношений между ними, для описания правил рассуждения, построения выводов и доказательств

Имена обозначают отдельный объект, бывают простые и сложные. Простые не содержат никакой информации об обозначаемых индивидах (имена собственные). Сложные имена не только обозначают предмет, но и указывают на какие-либо его свойства

Предметные функторы знаки так называемых предметных функций (функциональная константа) Наряду с математическими функциями «синус», «логарифм», «умножение» и т.п. сюда относятся такие особые характеристики предметов, как скорость, плотность, возраст, пол, профессия, агрегатное состояние, место жительства и др.

Предикатор (предикатная константа) - выражение языка (слова и словосочетания), предметными значениями которого являются свойства (одноместные предикаторы) или отношения (многоместные предикаторы)

Язык логики предикатов

Определение терма

Пример а – «Аполлон» в – «Венера» f1 – «красавец» g2 – «молодой» f1(a) – Аполлон – красавец. g2(a,в) – Аполлон и Венера – молоды. g2(f1(a),в) – Красавец Аполлон и Венера – молоды. f1(g2(a,в)) – Красавцы, молодые Аполлон и Венера.

Определение формулы

Область действия квантора Если формула А имеет вид хВ или хВ, то областью действия квантора  или  по переменной х является формула В

Пример «Если целое число больше 13, то его квадрат делится без остатка на 4 или на 5» х((Рх  Q2(х, 13))  (R(g(х, х), 4)  R (g(х, х), 5)), где Р - «быть целым числом», Q2 - «больше чем», R - «делится на»

Некоторые законы логики предикатов 1. Взаимовыразимость кванторов хА  хА, хА  хА. 2. Отрицание кванторов хА  хА, хА  хА. 3. Перестановка кванторов xyА  yxА, xyА  yxА, xyА  yxА.

Некоторые законы логики предикатов 4. Законы пронесения и вынесения кванторов а) конъюнкция a(А  В)  (aА  aВ);, a(А  В)  (aА  aВ), б) дизъюнкция a(А  В)  (aА  aВ), (aА  aВ)  a(А  В), в) импликация a(А  В)  (aА  aВ), (aА  aВ)  a(А  В).

Примеры «Все люди интересуются строением космоса», х(Р1(х)  Q1(х, f(a)) где Р1 – «быть человеком», Q1 – «интересоваться», f – «строение …», a – «космос» «Некоторые звёзды не видны невооружённым глазом, но видны в телескоп» х(Р2(х)  уz((Р3(у)  Р4(z))  (Q2(х, y)  Q2(х, z)))) где Р2 – «быть звездой», Р3 – «быть невооружённым органом зрения», Р4 – «быть телескопом», Q2 – «виден с помощью»

Исчисление естественного вывода порождение одних формул из других Здесь нет аксиом. Знание не истинное, а доказуемое.

Правила вывода

Правила вывода

Пример

Спасибо за внимание