Линейные уравнения 1-го порядка. Уравнения Бернулли презентация

Лектор Пахомова Е.Г.

§7. Линейные уравнения первого порядка Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется ДУ 1-го порядка, линейное относительно неизвестной функции y и ее производной y .  В общем случае линейное уравнение 1-го порядка можно записать в виде y  + p(x)  y = f(x) , (8) где p(x) ,  f(x) – заданные непрерывные функции. Если f(x) ≡ 0 , то линейное уравнение называется однородным. В противном случае уравнение называется неоднородным. Линейное однородное уравнение y  + p(x)  y = 0 является уравнением с разделяющимися переменными. Его общее решение: (9)

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение (8): Рассмотрим линейное неоднородное уравнение (8): y  + p(x)  y = f(x) . (8) Существуют два метода его интегрирования. I) Метод вариации постоянной (метод Лагранжа) 1) Интегрируем однородное уравнение y  + p(x)  y = 0, соот- ветствующее данному неоднородному уравнению. Его общее решение имеет вид (9): 2) Полагаем, что решение неоднородного уравнения по структуре совпадает с решением соответствующего линей- ного однородного уравнения.  Оно имеет вид Функцию C(x) найдем, подставив y и y  в исходное неод- нородное уравнение (8).

Получим: Получим: Таким образом, общее решение линейного неоднородного уравнения (8) имеет вид: (10) Замечания. 1) Раскроем скобки в (10): (11) Заметим, что первое слагаемое в (11) – общее решение линейного однородного уравнения, а второе – частное решение линейного неоднородного уравнения (получается из общего решения при C = 0).

2) Так как ex  0, то любую функцию y(x) можно записать в виде 2) Так как ex  0, то любую функцию y(x) можно записать в виде Это является основанием метода вариации постоянной. II) Метод Бернулли. Будем искать решение (8) в следующем виде: y = u(x)  v(x) . Тогда y  = u   v + u  v  . Подставим y и y  в уравнение (8) и получим: u   v + u  v  + puv = f(x) или u   v + u  [ v  + pv ] = f(x) . Полагаем, что функция v(x) такова, что [ v  + pv ] = 0 . Тогда u   v = f(x) .

Условия (12) позволяют однозначно определить v(x) и u(x) . Условия (12) позволяют однозначно определить v(x) и u(x) . При этом получим Замечание. Линейное неоднордное уравнение вида y  + p(x)  y = b проще интегрировать как уравнение с разделяющимися переменными

§8. Уравнения Бернулли Уравнением Бернулли называется уравнение вида y  + p(x)  y = f(x)  y n , (13) где p(x) ,  f(x) – заданные непрерывные функции, n  0 , n  1 (иначе это будет линейное уравнение). Уравнение Бернулли можно привести к линейному уравнению. Для этого надо 1) обе части уравнения (13) разделить на y n , 2) сделать замену z = y 1 – n . Замечания. 1) Уравнение Бернулли при n > 0 имеет решение y = 0 . Оно будет частным решением при n > 1 (обычно входит в общее при C = ) и особым при 0 < n < 1 .

2) Решив получившееся после замены линейное уравнение методом Бернулли, получим: 2) Решив получившееся после замены линейное уравнение методом Бернулли, получим: z = u(x)  v(x) , Таким образом, решение уравнения Бернулли можно сразу искать в виде произведения двух функций методом Бернулли, не приводя предварительно к линейному уравнению.