Презентация, доклад Матрицы. Метод Гаусса. Формулы Крамера


Вы можете изучить и скачать доклад-презентацию на тему Матрицы. Метод Гаусса. Формулы Крамера. Презентация на заданную тему содержит 23 слайдов. Для просмотра воспользуйтесь проигрывателем, если материал оказался полезным для Вас - поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций в закладки!
Презентации» Математика» Матрицы. Метод Гаусса. Формулы Крамера
Матрицы
 Метод Гаусса
 Формулы КрамераМатрица Определение
 Прямоугольная таблица из m, n чисел, содержащая m –Иоганн Карл Фридрих Гаусс  (30 апреля 1777, Брауншвейг — Метод Гаусса
 Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных алгебраическихТипы уравнений
 Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решение,Элементарные преобразования
 К элементарным преобразованиям системы отнесем следующее:
 перемена местами двухОбщий случай
 Для простоты рассмотрим метод Гаусса для системы трех линейных2-ой шаг метода Гаусса
 2-ой шаг метода Гаусса
 На втором шагеВ результате преобразований система приняла вид:
 В результате преобразований система принялаЕсли в ходе преобразований системы получается противоречивое уравнение вида 0 =Рассмотрим на примере
 Покажем последовательность решения системы из трех уравнений методомМетод Крамера
 Метод Крамера—способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений сГабриэль Крамер  (31 июля 1704, Женева, Швейцария—4 января 1752, Баньоль-сюр-Сез,Рассмотрим систему линейных уравнений с квадратной матрицей A , т.е. такую,Имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы этойВ этом случае решение можно вычислить по формуле КрамераДля получения значения xk в числитель ставится определитель, получающийся из det(A)Решение.Найдите оставшиеся компоненты решения. 
 Формулы Крамера не представляют практического значенияНайдите оставшиеся компоненты решения. 
 Кроме того, формулы Крамера начинают конкурироватьРешение. 
 В этом примере определитель матрицы системы равен  Ответ. 
 	Приведенный пример поясняет также каким образом система линейных уравнений,Использованные источники
 В.С. Щипачев, Высшая математика
 Ильин В. А., Позняк Э.



Слайды и текст этой презентации
Слайд 1
Описание слайда:
Матрицы Метод Гаусса Формулы Крамера


Слайд 2
Описание слайда:
Матрица Определение Прямоугольная таблица из m, n чисел, содержащая m – строк и n – столбцов, вида: называется матрицей размера m  n Числа, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы. Положение элемента аi j в матрице характеризуются двойным индексом: первый i – номер строки; второй j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент.  Сокращенно матрицы обозначают заглавными буквами: А, В, С… Коротко можно записывать так:

Слайд 3
Описание слайда:
Иоганн Карл Фридрих Гаусс (30 апреля 1777, Брауншвейг — 23 февраля 1855, Гёттинген)

Слайд 4
Описание слайда:
Метод Гаусса Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные. Система т линейных уравнений с п неизвестными имеет вид: x1 , x2, …, xn – неизвестные. ai j - коэффициенты при неизвестных. bi - свободные члены (или правые части)

Слайд 5
Описание слайда:
Типы уравнений Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решение, и несовместной, если она не имеет решения. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если она имеет бесчисленное множество решений. Две совместные системы называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

Слайд 6
Описание слайда:
Элементарные преобразования К элементарным преобразованиям системы отнесем следующее: перемена местами двух любых уравнений; умножение обеих частей любого из уравнений на произвольное число, отличное от нуля; прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое действительное число.

Слайд 7
Описание слайда:
Общий случай Для простоты рассмотрим метод Гаусса для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными в случае, когда существует единственное решение: Дана система: 1-ый шаг метода Гаусса На первом шаге исключим неизвестное х1 из всех уравнений системы (1), кроме первого. Пусть коэффициент . Назовем его ведущим элементом. Разделим первое уравнение системы (1) на а11. Получим уравнение: где Исключим х1 из второго и третьего уравнений системы (1). Для этого вычтем из них уравнение (2), умноженное на коэффициент при х1 (соответственно а21 и а31). Система примет вид: Верхний индекс (1) указывает, что речь идет о коэффициентах первой преобразованной системы.

Слайд 8
Описание слайда:
2-ой шаг метода Гаусса 2-ой шаг метода Гаусса На втором шаге исключим неизвестное х2 из третьего уравнения системы (3). Пусть коэффициент . Выберем его за ведущий элемент и разделим на него второе уравнение системы (3), получим уравнение: где Из третьего уравнения системы (3) вычтем уравнение (4), умноженное на Получим уравнение: Предполагая, что находим

Слайд 9
Описание слайда:
В результате преобразований система приняла вид: В результате преобразований система приняла вид: Система вида (5) называется треугольной. Процесс приведения системы (1) к треугольному виду (5) (шаги 1 и 2) называют прямым ходом метода Гаусса. Нахождение неизвестных из треугольной системы называют обратным ходом метода Гаусса. Для этого найденное значение х3 подставляют во второе уравнение системы (5) и находят х2. Затем х2 и х3 подставляют в первое уравнение и находят х1.

Слайд 10
Описание слайда:
Если в ходе преобразований системы получается противоречивое уравнение вида 0 = b, где b  0, то это означает, что система несовместна и решений не имеет. Если в ходе преобразований системы получается противоречивое уравнение вида 0 = b, где b  0, то это означает, что система несовместна и решений не имеет. В случае совместной системы после преобразований по методу Гаусса, составляющих прямой ход метода, система т линейных уравнений с п неизвестными будет приведена или к треугольному или к ступенчатому виду. Треугольная система имеет вид: Такая система имеет единственное решение, которое находится в результате проведения обратного хода метода Гаусса. Ступенчатая система имеет вид: Такая система имеет бесчисленное множество решений.

Слайд 11
Описание слайда:
Рассмотрим на примере Покажем последовательность решения системы из трех уравнений методом Гаусса Поделим первое уравнение на 2, затем вычтем его из второго (a21=1, поэтому домножение не требуется) и из третьего, умножив предварительно на a31=3 Поделим второе уравнение полученной системы на 2, а затем вычтем его из третьего, умножив предварительно на 4,5 (коэффициент при x2) Тогда

Слайд 12
Описание слайда:
Метод Крамера Метод Крамера—способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы. Создан Габриэлем Крамером в 1751 году.

Слайд 13
Описание слайда:
Габриэль Крамер (31 июля 1704, Женева, Швейцария—4 января 1752, Баньоль-сюр-Сез, Франция)

Слайд 14
Описание слайда:
Рассмотрим систему линейных уравнений с квадратной матрицей A , т.е. такую, у которой число уравнений совпадает с числом неизвестных: a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2 … … an1x1+an2x2+…+annxn=bn

Слайд 15
Описание слайда:
Имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы этой системы отличен от нуля: a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … an1 an2 … ann

Слайд 16
Описание слайда:
В этом случае решение можно вычислить по формуле Крамера

Слайд 17
Описание слайда:
Для получения значения xk в числитель ставится определитель, получающийся из det(A) заменой его k-го столбца на столбец правых частей Пример. Решить систему уравнений :

Слайд 18
Описание слайда:
Решение.

Слайд 19
Описание слайда:
Найдите оставшиеся компоненты решения. Формулы Крамера не представляют практического значения в случае систем с числовыми коэффициентами: вычислять по ним решения конкретных систем линейных уравнений неэффективно, поскольку они требуют вычисления (n+1)-го определителя порядка n , в то время как метод Гаусса фактически эквивалентен вычислению одного определителя порядка n . Тем не менее, теоретическое значение формул Крамера заключается в том, что они дают явное представление решения системы через ее коэффициенты. Например, с их помощью легко может быть доказан результат Решение системы линейных уравнений с квадратной матрицей A является непрерывной функцией коэффициентов этой системы при условии, что det A не равно 0 .

Слайд 20
Описание слайда:
Найдите оставшиеся компоненты решения. Кроме того, формулы Крамера начинают конкурировать по вычислительной эффективности с методом Гаусса в случае систем, зависящих от параметра. зависящей от параметра , определить предел отношения компонент решения:

Слайд 21
Описание слайда:
Решение. В этом примере определитель матрицы системы равен . По теореме Крамера система совместна при . Для случая применением метода Гаусса убеждаемся, что система несовместна. Тем не менее, указанный предел существует. Формулы Крамера дают значения компонент решения в виде

Слайд 22
Описание слайда:
Ответ. Приведенный пример поясняет также каким образом система линейных уравнений, непрерывно зависящая от параметра, становится несовместной: при стремлении параметра к какому-то критическому значению (обращающему в нуль определитель матрицы системы) хотя бы одна из компонент решения «уходит на бесконечность».

Слайд 23
Описание слайда:
Использованные источники В.С. Щипачев, Высшая математика Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. Волков Е.А. Численные методы. В.Е. Шнейдер и др., Краткий курс высшей математики,том I.


Скачать презентацию на тему Матрицы. Метод Гаусса. Формулы Крамера можно ниже:

Похожие презентации