Неопределенный интеграл. Первообразная презентация

Неопределённый интеграл.

Первообразная. Задача дифференциального исчисления: по данной функции найти её производную. Задача интегрального исчисления: найти функцию, зная её производную. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для любого х из этого промежутка справедливо равенство Fʹ(x)=f(x).

Пример 1. Найти первообразные для функций:

Для всякой ли функции f(x) существует первообразная? Для всякой ли функции f(x) существует первообразная? Теорема. Если функция непрерывна на каком- нибудь промежутке, то она имеет на нём первообразную.

Теорема. Теорема. Если функция F(x) является первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, то множество всех первообразных этой функции имеет вид F(x)+C, где C∈R.

Пример 2. Найти все первообразные функции f(x)=2x и изобразить их геометрически.

Неопределённый интеграл. Множество всех первообразных F(x)+C функции f(x) на некотором промежутке называется неопределённым интегралом и обозначается символом , т.е

Свойства неопределённого интеграла. 10. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:

Доказательство: Доказательство:

20. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная, т.е 20. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная, т.е

30. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов, т.е 30. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов, т.е

40. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е 40. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е

Таблица интегралов.

Основные методы интегрирования.

Пример 3. Вычислить интеграл

Пример 4. Вычислить интеграл

Пример 5. Вычислить интеграл

Пример 6. Вычислить интеграл

Пример 7. Вычислить интеграл

Пример 8. Вычислить интеграл

Пример 9. Вычислить интеграл

Пример 10. Вычислить интеграл

Пример 11. Вычислить интеграл

Пример 12. Вычислить интеграл