Основы векторной алгебры. Векторы на плоскости и в пространстве презентация

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Опр. Вектор (в пространстве, на плоскости, на прямой) – это направленный отрезок, т.е. отрезок AB, у которого одна из ограничивающих его точек A принимается за начало, а вторая B – за конец. Опр. Вектор (в пространстве, на плоскости, на прямой) – это направленный отрезок, т.е. отрезок AB, у которого одна из ограничивающих его точек A принимается за начало, а вторая B – за конец.

Опр. Ненулевые векторы называются равными: , если: Опр. Ненулевые векторы называются равными: , если: они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; имеют одинаковые длины ( ) и одинаково направлены.

Сложение векторов Пусть - два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и приложим вектор к этой точке, получим . Затем отложим от точки А вектор , получим . Вектор называется суммой векторов .

2. Разность векторов Опр. Разность векторов обозначается и определяется как сумма вектора и противоположного вектора .

3. Умножение вектора на число Опр. Произведение вектора на число  называется вектор, длина которого равна числу и который имеет направление вектора , если   0, и противоположное направление ( ), если   0. Обозначается: . Если   0 или , то .

Опр. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. В противном случае, они называются неколлинеарными. Опр. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. В противном случае, они называются неколлинеарными.

Опр. Три вектора называются компланарными, если они лежат на одной плоскости или на параллельных плоскостях. В противном случае, они называются некомпланарными. Опр. Три вектора называются компланарными, если они лежат на одной плоскости или на параллельных плоскостях. В противном случае, они называются некомпланарными.

Множество всех свободных векторов на прямой будем обозначать R1, на плоскости - R2, в пространстве - R3. Множество всех свободных векторов на прямой будем обозначать R1, на плоскости - R2, в пространстве - R3. Опр. Множества R1, R2, R3 вместе с введёнными выше линейными операциями над векторами называются также векторными пространствами R1, R2, R3.

Опр. Опр. 1) Базисом в пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке. 2) Базисом на плоскости называются любые 2 неколлинеарных вектора, взятые в определенном порядке. 3)Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор.

Опр. Если - базис в пространстве и , то числа ,  и  - называются компонентами или координатами вектора в этом базисе. Опр. Если - базис в пространстве и , то числа ,  и  - называются компонентами или координатами вектора в этом базисе.   В связи с этим можно записать следующие свойства:  равные векторы имеют одинаковые координаты, при умножении вектора на число его компоненты тоже умножаются на это число, при сложении векторов складываются их соответствующие компоненты.

Опр. Если - некоторая система векторов пространства R (R1, R2 или R3), тогда любой вектор вида называется линейной комбинацией векторов Опр. Если - некоторая система векторов пространства R (R1, R2 или R3), тогда любой вектор вида называется линейной комбинацией векторов некоторые действительные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации. Если какой-либо вектор представляется в виде линейной комбинации некоторых векторов, то говорят, что он разложен по этим векторам.

Опр. Векторы называются линейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация , при не равных нулю одновременно i , т.е. . Опр. Векторы называются линейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация , при не равных нулю одновременно i , т.е. . Если же только при i = 0 выполняется равенство , то векторы называются линейно независимыми.

Свойства Если среди векторов есть нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы. Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов. Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 2 линейно зависимые векторы коллинеарны. Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 3 линейно зависимые векторы компланарны.  Любые 4 вектора линейно зависимы.

2. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ

О – произвольная точка О – произвольная точка единичные взаимно-перпендикулярные векторы плоскости (пространства) – орты Oxy – прямоугольная система координат на плоскости Oxyz – декартовая система координат в пространстве x – абсцисса y – ордината z – аппликата

Задача 1. Найти координаты вектора, если даны координаты его начальной и конечной точек. Задача 1. Найти координаты вектора, если даны координаты его начальной и конечной точек. Решение.

Условие коллинеарности двух векторов Векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, т.е. когда справедливо равенство

Линейные операции над векторами в координатной форме

Направление вектора определяется углами α, β, γ, образованными с осями координат Ox, Oy, Oz. Направление вектора определяется углами α, β, γ, образованными с осями координат Ox, Oy, Oz. Косинусы этих углов определяются по формулам:

3. СКАЛЯРНОЕ И ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ

Опр. Скалярным произведением двух векторов называется число, обозначаемое и равное Опр. Скалярным произведением двух векторов называется число, обозначаемое и равное

Три некомпланарных вектора образуют правую тройку (левую тройку) или положительно ориентированы (отрицательно ориентированы), если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден против часовой стрелки (по часовой стрелке). Три некомпланарных вектора образуют правую тройку (левую тройку) или положительно ориентированы (отрицательно ориентированы), если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден против часовой стрелки (по часовой стрелке).

Векторное произведение векторов Опр. Векторным произведением двух векторов называется такой третий вектор , который удовлетворяет следующим трем условиям: 1) вектор ортогонален 2) 3) векторы образуют правую тройку.

Обозначения:

Геометрический смысл

Свойства

6. Теорема (запись векторного произведения в координатах) Если

Смешанное произведение векторов Опр. Смешанным произведением трех векторов называется число, обозначаемое и определяемое следующим образом

Геометрический смысл

Свойства

не нарушается круговой порядок нарушается круговой порядок

7. Теорема (запись смешанного произведения в координатах) Если

8. Признак компланарности трех векторов (линейной зависимости трех векторов) Векторы компланарны (линейно зависимы)