Системы линейных алгебраических уравнений. Метод обратной матрицы. Формулы Крамера презентация

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 4 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ. ФОРМУЛЫ КРАМЕРА

§ 1. ВВЕДЕНИЕ § 1. ВВЕДЕНИЕ Линейное алгебраическое уравнение имеет вид: Система m уравнений с n неизвестными:

Обозначим матрицы: Обозначим матрицы: тогда A⋅ Χ = B – запись системы в матричной форме. Решением системы называется вектор X , который после подстановки в систему превращает все ее уравнения в тождества. Система называется совместной, если имеет хотя бы одно решение, и несовместной – если не имеет. Совместная система, имеющая единственное решение, называется определенной, а если она имеет более одного решения - то неопределенной. Если система неопределенная, то каждое ее решение называется частным решением системы. Множество всех частных решений системы называется ее общим решением.

Решить систему – это, значит, выяснить, совместна ли она, а в случае совместности, найти ее общее решение. Решить систему – это, значит, выяснить, совместна ли она, а в случае совместности, найти ее общее решение. Две системы, имеющие одинаковое общее решение называются эквивалентными. Система линейных уравнений называется однородной, если все её свободные члены равны нулю, т.е. b1 = b2 = ... = bm = 0 Однородная система является совместной, так как x1 = x2 = ... = xn = 0 всегда является решением системы. Расширенной матрицей системы называется матрица Ab системы с присоединенным столбцом свободных членов.

§ 2. МЕТОД ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ § 2. МЕТОД ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ Рассмотрим частный случай системы линейных уравнений когда m = n или в матричной форме A⋅ X = B. Основная матрица такой системы квадратная:

Определитель этой матрицы ∆ называется определителем системы. Если определитель системы не равен нулю, то система называется невырожденной. Определитель этой матрицы ∆ называется определителем системы. Если определитель системы не равен нулю, то система называется невырожденной. Для получения решения исходной системы в этом случае, предположим, что матрица A невырожденная, т. е. определитель  A ≠ 0, и для нее существует обратная матрица A−1. Умножая обе части равенства A⋅ X = B слева на матрицу A−1, получаем и решением системы будет вектор-столбец X = A−1B. Пример. Решить систему уравнений методом обратной матрицы.

Решение. Представим систему в матричном виде: Решение. Представим систему в матричном виде: т.е. в матричной форме система имеет вид A⋅ X = B. Найдем определитель системы A = −7. Так как A ≠ 0, то матрица A-невырожденная, и для неё существует обратная матрица - A−1. Для ее нахождения, вначале, транспонируем матрицу A. Затем найдем алгебраические дополнения к матрице AT .

Используя формулу X = A−1B, найдем решения системы: Используя формулу X = A−1B, найдем решения системы: т.е. решение системы: x1 = 6, x2 = −5, x3 = −3. Произведем проверку:

§ 3. ФОРМУЛЫ КРАМЕРА § 3. ФОРМУЛЫ КРАМЕРА Матричное равенство X = A−1B запишем в виде

Решить систему по формулам Крамера Решить систему по формулам Крамера Решение