СЛУ. Теорема Крамера. Метод обратной матрицы презентация

СЛУ Теорема Крамера Метод обратной матрицы

ТЕОРЕМА КРАМЕРА Если главный определитель  системы  линейных алгебраических уравнений Δ отличен от нуля,  то эта система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера. Если  Δ=0 , а хотя бы один из определителей Δj отличен от нуля, то СЛАУ решений не имеет. Если Δ=0 и все Δj= 0 (j=1,…,N), то СЛАУ имеет бесконечное множество решений.

Формулы Крамера где Δj=0 (j=1,…,n) - определители, образованные из главного определителя СЛУ Δ заменой j-го столбца столбцом из свободных членов

Однородные системы ЛУ (ОСЛУ) Система уравнений с нулевыми свободными членами называется однородной, в противном случае – неоднородной. • Рассмотрим однородную систему из n линейных уравнений с n неизвестными • Ясно, что в этом случае  все Δj= 0 (j=1,…,N), , так как все элементы одного из столбцов в этих определителях равны нулю. Поэтому нулевое решение всегда является решением такой системы. Нулевое решение называется тривиальным решением. Так как неизвестные находятся по формулам Крамера , то в случае, когда Δ ≠ 0, система имеет единственное нулевое решение x = y = z = 0. Однако, во многих задачах интересен вопрос о том, имеет ли однородная система решения, отличные от нулевого )

Критерий существования нетривиального решения однородной системы (ОСЛУ) Теорема. Для того, чтобы однородная квадратная система линейных уравнений имела нетривиальное решение необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю ∆ = 0. Итак, если определитель Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение , а значит x=y=z=0. Если же Δ= 0, то система линейных однородных уравнений имеет бесконечное множество решений.

Пример 1

Пример 1

Пример 2

Пример 2

Пример 2

Пример 2

Пример

Решение систем линейных уравнений матричным методом или методом обратной матрицы

Обратная матрица Пусть A — квадратная матрица порядка nхn:

Пример

Невырожденная матрица ― квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля. В противном случае она называется вырожденной. Невырожденная матрица ― квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля. В противном случае она называется вырожденной. Для квадратной матрицы невырожденность эквивалентна каждому из следующих условий: Матрица обратима, то есть существует обратная матрица; строки (столбцы) матрицы линейно независимы; элементарными преобразованиями строк (столбцов) матрицу можно привести к единичной матрице;

Всякая невырожденная матрица A имеет единственную обратную матрицу.

Свойства обратной матрицы (справедливы для любых невырожденных матриц):  (A·B)−1 = B−1·A−1;  (A−1)−1= A;   E−1=E;   A·A−1·A = A;   матрица, обратная к диагональной матрице — диагональная матрица;    матрица, обратная к треугольной матрице — треугольная матрица;   матрица, обратная к симметричной матрице — симметричная матрица.

Пусть задана СЛАУ следующего вида:

Эту систему можно представить в матричном виде: AX = b, где - матрица коэффициентов системы уравнений; Индексы коэффициентов аij системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, в противном случае система несовместна. Если матрица A является квадратной и имеет обратную матрицу, то система уравнений имеет единственное решение x = A-1b .

Порядок операций при вычислении обратной матрицы:

Матрица, обратная к диагональной матрице — диагональная матрица. Пример –доказать

Матрица, обратная к треугольной матрице — треугольная матрица

Найти решение системы уравнений: 3x1-5x2= 22 x1+4x2= 5