Статистический анализ зависимостей между гидрологическими переменными (лекция 10) презентация

Лекция 10 Статистический анализ зависимостей между гидрологическими переменными Метод наименьших квадратов Уравнение линейной регрессии для двух переменных Линерализация нелинейных зависимостей Оценка точности уравнения линейной регрессии для двух переменных (Ахметов С.К.)

Статистический анализ зависимостей между гидрологическими переменными Задача: Найти вид зависимости y = f(x1, x2, …xk) где у - зависимая переменная (или предиктант) x1, x2, …xk – независимые переменные (предикторы) Допустим для простоты, что у зависит только от одного предиктора, т.е. y = f(x) и что зависимость y = f(x) является линейной Искомым уравнением регрессии в этом случае будет выражение yi = axi +b

Метод наименьших квадратов Нужно определить такие значения параметров a и b, при которых сумма квадратов отклонений наблюденных значений уi от рассчитанных по вышеприведенной формуле будет иметь минимальное значение. Сумма квадратов отклонений равна

Метод наименьших квадратов Решая эти уравнения относительно a и b, получим

Метод наименьших квадратов r - эмпирическая мера линейной зависимости между Y и X, изменяется от -1 до +1. При знаке «+» - зависимость прямая, а при знаке «-« - обратная Коэффициент корреляции можно рассчитать по формуле

Линеаризация нелинейных зависимостей Зависимость y = f(x) может иметь и нелинейных вид В этом случае, можно попытаться использовать для аппроксимации зависимости y = f(x) уравнение экспоненты

Преобразования, применяемые при линеаризации зависимостей

Оценка точности уравнения линейной регрессии для двух переменных Обычно в гидрологии регрессионная зависимость может использоваться для практических расчетов, если |r| ≥ 0.7  Другие статистические характеристики, позволяющие судить о точности полученного уравнения σy(x) – стандартная ошибка уравнения линейной регрессии. Эта величина характеризует среднеквадратическое отклонение точек от принятой линии регрессии.

Оценка точности уравнения линейной регрессии для двух переменных σy(x) через коэффициент корреляции можно записать

Оценка точности уравнения линейной регрессии для двух переменных σr - стандартная ошибка коэффициента парной корреляции

Оценка точности уравнения линейной регрессии для двух переменных σb – стандартная ошибка свободного члена

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!