Теоремы сложения и умножения вероятностей. (Лекция 3) презентация

Теоремы сложения и умножения вероятностей 1. Условная вероятность. 2. Теоремы умножения вероятностей. 3. Теоремы сложения вероятностей. 4. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

1. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

Условная вероятность Вероятность события А при условии, что событие В с вероятностью Р(В)0 уже произошло, обозначается Р(А/В) и называется условной вероятностью события А при условии, что имело место событие В.

Условная вероятность

Условная вероятность

События А и В называются независимыми если осуществление одного не влияет на вероятность осуществления другого, т.е. или

2. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ТЕОРЕМА 1 Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило.

ТЕОРЕМА 2 Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей, т.е.

ТЕОРЕМА 2

ТЕОРЕМА 3 Если для двух событий выполняется равенство то эти события независимые.

ТЕОРЕМА 4 Вероятность совместного наступления конечного числа событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие уже наступили, т.е.

ТЕОРЕМА 5 Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий, т.е.

3. СУММА ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ТЕОРЕМА 6 Вероятность появления одного из двух несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий, т.е.

25 ЧЕЛОВЕК ИМЕЮТ СЛЕДУЮЩИЕ ОЦЕНКИ

ТЕОРЕМА 7 Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

СЛЕДСТВИЕ Сумма вероятностей попарно несовместных событий, образующих полную группу, равна 1:

ТЕОРЕМА 8 Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:

СЛЕДСТВИЕ В случае трех совместных событий вероятность их суммы вычисляется по формуле:

ТЕОРЕМА 9 Вероятность появления хотя бы одного из событий, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий:

3. Формула полной вероятности. Формула Байеса

ТЕОРЕМА 10 Вероятность события А, которое может наступить только при условии появления одного из событий В1, В2,...,Вn, образующих полную группу попарно несовместных событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А, т.е.

Алгоритм применения ф.Байеса 1. Выдвигают предположения – гипотезы В1, В2,...,Вn. Данные гипотезы составляют полную группу несовместных событий.

Алгоритм применения ф.Байеса 2. Устанавливают доопытные (априорные) вероятности данных гипотез: из интуитивных или каких-либо других соображений.

Алгоритм применения ф.Байеса 3. Проводят эксперимент, в результате которого происходит событие А. Таким образом получают новую информацию, на основании которой выполняют переоценку доопытных вероятностей гипотез по формуле Байеса:

Алгоритм применения ф.Байеса где Р(А) определяется по формуле полной вероятности.