Теория комплексных чисел. (Тема 2) презентация

Теория комплексных чисел

«настоящие» только натуральные числа-древнегреческие математики «настоящие» только натуральные числа-древнегреческие математики

XVI в. изучение кубических уравнений ит. математик Н.Тарталья x3=px+q Корень уравнения: x= где u, v- решение системы уравнений

пример 1 x3=px+q Корень уравнения: x= где u, v- решение системы уравнений

пример 2 x3=15x+4 х=4- действительный корень Не имеет решения во множестве действительных чисел

1545 г. Дж.Кардано (ит.алгебраист)- «чисто отрицательные» 1545 г. Дж.Кардано (ит.алгебраист)- «чисто отрицательные» 1572 г. Р.Бомбелли (ит.алгебраист)- первые правила арифметических операций

1777 г. Л Эйлер (шв.математик) – обозначение i от латинского imaginarius - «мнимый» 1777 г. Л Эйлер (шв.математик) – обозначение i от латинского imaginarius - «мнимый»

В течение XVIII в. были решены многие вопросы и прикладные задачи, связанные картография гидродинамика теория жидкости теория упругости радиотехника электротехника

Применение комплексных чисел в электротехнике Для расчета цепей постоянного тока Для расчета цепей переменного тока Упрощение расчетов Для расчета сложных цепей, которые другим путем решить нельзя

Навыки, полученные после изучения темы «комплексные числа» Находить модуль и аргумент комплексного числа и комплексное число по его модулю и аргументу Переводить комплексное число из одной формы в другую. Производить арифметические действия над комплексными числами Строить вектор по комплексному числу и определять комплексное число по его вектору

Мнимая единица Мнимая единица- это число, квадрат которого равен –1. i2 = -1

Степени мнимой единицы

если n:4 (ост.0), то in= 1=i0 если n:4 (ост.0), то in= 1=i0 если n:4 (ост.1), то in= i=i1 если n:4 (ост.2), то in=-1=i2 если n:4 (ост.3), то in=-i=i3

Алгебраическая форма комплексного числа Числа вида a+bi, где a,bℝ, i- мнимая единица называются комплексными а- дейсвительная часть компл.числа a=Re z bi- мнимая часть компл.числа b- коэффициент при мнимой единице b=Im z

z=a+bi Если a=0, то z=bi- чисто мнимое Если b=0, то z=a- действительное Если a=0 и b=0, то z=0

Равенство комплексных чисел Два комплексных числа равны, если равны их действительные части и коэффициенты при мнимой единице:

Операции над комплексными числами Определим сумму

Свойства операций Коммутативность относительно сложения z1+z2=z2+z1 Ассоциативность относительно сложения (z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) Для ∀ z1 ,z2 ∃z: z1+z=z2. Число z называют разностью чисел z2и z1 и обозначают z2-z1=z Коммутативность относительно умножения z1ּz2=z2ּz1 Ассоциативность относительно умножения (z1ּz2)ּz3= z1ּ(z2ּz3) Для ∀ z1 0+0i, z2 ∃z: z1 z=z2. Число z называют частным чисел z2и z1 и обозначают z=z2/z1 Дистрибутивность z1ּ(z2+z3)= z1ּz2+z1ּz3

Доказательство 3: Для ∀ z1 ,z2 ∃z: z1+z=z2. Число z называют разностью чисел z2и z1 и обозначают z2-z1=z Пусть:

Доказательство 6: Для ∀ z1 0+0i, z2 ∃z: z1 z=z2. Число z называют частным чисел z2и z1 и обозначают z=z2/z1 Пусть:

Доказательство 7: Дистрибутивность z1ּ(z2+z3)= z1ּz2+z1ּz3 Пусть:

Сложение и умножение комплексных чисел подчиняется тем же законам, что и сложение и умножение действительных чисел! Пример. Пусть Найдем

Сопряженные числа Числа a+bi и a-bi называются сопряженными. (отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью)

Чтобы разделить одно комплексное число на другое, надо числитель и знаменатель домножить на сопряженное знаменателю число Пример. Вычислить

Решение квадратных уравнений с D<0

ЗАДАНИЕ 1 Дано

ЗАДАНИЕ 2 Вычислить:

ЗАДАНИЕ 3 По корням составить квадратное уравнение:

ЗАДАНИЕ 4 Найти действительные числа х и у из условия равенства двух комплексных чисел: