Теория Множеств презентация

Введение в теорию множеств 1. Основные определения, терминология Под множеством А мы понимаем совокупность объектов произвольной природы, объединенных общим свойством Р(х). Обозначение Указанием определяющего свойства Перечислением элементов Пример 1 Иногда второе обозначение распространяется и на некоторые бесконечные множества. Так, N={1,2,3,...,n,...} Z={...,-n,...,-2,-1,0,1,2,...,n,...}.

Следует отметить, что объект а и множество {а} - это различные вещи: Следует отметить, что объект а и множество {а} - это различные вещи: первое - это объект, обозначенный через а, второе-это множество, состоящее из (единственного) объекта а. Другая форма обозначения состоит в указании общего свойства объектов, из которых мы образуем множество. Оно имеет вид: M={x | P (x) } Читается: “множество всех х таких, что Р (х)” , где Р обозначает свойство, характеризующее в точности все элементы данного множества. Например {x | x- целое число, делящееся на 2} - означает множество четных чисел

Определение 1 Определение 1 Множество А называется подмножеством В, если для любого х ( ) Обозначение: Другими словами, символ " " есть сокращение для высказывания Теорема 1 Для любых множеств А, В, С верно следующее: а) ; б) и .

Определение 2 Определение 2 Множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов (A=В). Другими словами, обозначение А=В служит сокращением для высказывания Пример Указать равные множества A={0;1;2}, B = {1;0;2}, C={0;1;2;0}, D={{1;2};0}, E={1;2}, F={x:x3-3x2+2x=0}.

Равенство множеств Если А В и В А ,то множества А и В называют равными и обозначают: А=В.

Определение 3 Определение 3 Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента, то есть х не принадлежит этому множеству (для любого х). Обозначение: .

2. Операции над множествами 2. Операции над множествами Определение 1 Объединением двух множеств А и В называется множество Пример Пусть А={1,2,3,4}, B={2,4,6,8}, тогда = {1,2,3,4,6,8}.

Объединение множеств Теорема 1 Пусть А, В, С – произвольные множества. Тогда: а) – идемпотентность объединения; б)   – коммутативность объединения; в)   – ассоциативность объединения; г) ; д)

Пересечение множеств Определение 2 Пересечением множеств А и В называется множество Пример Пусть A={1,2,4,7,8,9}, B={1,3,5,7,8,10}, тогда

Пересечение множеств Теорема 2 Пусть А, В, С – произвольные множества, тогда: а) - идемпотентность пересечения; б) - коммутативность пересечения; в) - ассоциативность пересечения; г)

Объединение и пересечение множеств Теорема 3 1) 2) 3) 4)

Разность множеств, дополнение, симметрическая разность Разность множеств, дополнение, симметрическая разность Определение 3 Разностью множеств A и B называется множество . Пример Пусть А={1,3,4,7,8,9,10}, B={2,3,4,5,6,7}, тогда A\B={1,8,9,10}, B\A={2,5,6}.

Разность множеств Теорема 4 Пусть А, В, С – произвольные множества, тогда: 1) 2) 3) 4) Теорема 5 (законы Моргана) а) б)

Множество U назовем "универсальным", если оно содержит все элементы и все множества являются его подмножествами. Понятие "универсального множества" у нас будет зависеть от круга задач, которые мы рассматриваем. Довольно часто под универсальным множеством понимают множество R –– множество вещественных чисел или множество С – комплексных чисел. Возможны и другие примеры. Всегда в контексте необходимо оговорить, что мы понимаем под универсальным множеством U.

Дополнение множеств Определение 4 Пусть U – универсальное множество. Дополнением А в U (или просто дополнением А) называется множество . Пример Если U – множество вещественных чисел и А – множество рациональных чисел, то  – множество иррациональных чисел

Дополнение множеств 1) 2) 3) Законы Моргана для дополнений а) ; б) .

Симметрическая разность Определение 5 Симметрической разностью множеств A и B называют множество Задача (3 балла). Доказать, что

Равна ли часть целому? Основная догма, которую необходимо отбросить: «часть меньше целого» На длинном и коротком отрезках точек поровну

Трудно примериться, что дорога в миллион световых лет имеет столько же точек, сколько и радиус атомного ядра! Трудно примериться, что дорога в миллион световых лет имеет столько же точек, сколько и радиус атомного ядра! На всей бесконечной прямой не больше точек, чем на отрезке (т.е. между между точками прямой и отрезка можно установить взаимнооднозначное соответствие)

Любой отрезок [a, b] , эквивалентен отрезку [0, 1] . Любой отрезок [a, b] , эквивалентен отрезку [0, 1] . Доказательство. Искомое взаимно однозначное соответствие можно установить как аналитически, например формулой : х [0, 1], у [a, b]. х у у =( b - a )x+a.

Тайны бесконечности Математики и философы всегда интересовались понятием бесконечности. Парадоксы бесконечности приучили древних греков к осторожности (парадокс Зенона о том, что стрела не может сдвинуться с места, Ахиллес никогда не догонит черепаху) Например: Евклид, формулировал свою знаменитую теорему о бесконечности простых чисел, выражается так: «Простых чисел существует больше всякого предложенного количества простых чисел», а бесконечно много или нет – об этом Евклид умалчивает. Основные заслуги в развитии теории множеств принадлежат Г. Кантору (родился в 1845 г в Петербурге, умер в 1918 г в Галле). Исследования бесконечных множеств потребовало развития математической логики. Первоначально эта область математики была очень далека от практических приложений, но впоследствии её принципы составили идейную основу конструирования электронных вычислительных машин и программирования вычислений на этих машинах.

Конечные множества Множество называется конечным ,если оно содержит конечное число элементов. Пусть А – конечное множество . Обозначим через m (A) количество элементов в множестве А. Для любых конечных множеств А и В справедливо равенство m (A B)=m( A) +m (B) –m (A B).

Задачи Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским – 28, французским – 42. Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским – 5, всеми тремя языками – 3. Сколько туристов не владеют ни одним языком? Определите разность множеств А и В, разность множеств В и А ,пересечение множеств и объединение множеств. А={1,2,3,4,5,6}, В={2,4,6,8,10}. В классе 32 ученика. 12 учеников занимаются волейболом, 15 – баскетболом, 8 – и баскетболом, и волейболом. Сколько человек не занимаются ни тем, на другим? В третьем классе дети коллекционируют марки и монеты. Марки коллекционируют 8 человек, монеты – 5 человек. Всего коллекционируют 11 человек. Сколько человек коллекционируют только марки и монеты? Экзамен по математике сдавали 250 абитуриентов. Оценку ниже 5 баллов получили 180 человек, а выдержали экзамен 210 абитуриентов. Сколько человек получили оценку 3 и 4?

Задание 1. Найдите объединение и пересечение множеств А и В, если А={a, b, c, d, e, f}, B={b, e, f, k}. 2. Каждый ребенок в группе изучает английский или французский язык. Английский язык изучают 25 детей, французский – 27 детей, а тот и другой – 18 человек. Сколько детей в группе? 3. В группе детского сада 25 детей, среди них 20 детей младше 6 лет и 15 детей старше 7 лет. может ли быть такое? 4. В группе 25 студентов, из них 19 человек предпочитают волейбол, а 8 человек – волейбол и баскетбол. Сколько студентов может играть в баскетбол? 5. Из 38 учащихся класса 24 занимаются в хоре и 15 – в лыжной секции. Сколько учащихся занимается и в хоре, и в лыжной секции, если в классе нет учащихся, не посещающих занятий хора или лыжной секции? 6. В школьной олимпиаде по математике участвовали 100 человек, по физике – 50, по информатике – 48. Когда учеников опросили: в скольких участвовали в школьных олимпиадах, ответ «в двух» дали вдвое меньше, чем «в одной», а «в трех» втрое меньше, чем «в одной». Сколько всего учеников участвовало в олимпиадах?