Теория пределов презентация

Лекция 2 Теория пределов

Числовая последовательность 1 2 3 4 … n…

Предел числовой последовательности

Предел функции Предел функции в точке (по Гейне)

Предел функции в точке (по Коши)

Бесконечные пределы

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Теорема о связи между функцией и ее пределом Если функция при х→х0 имеет конечный предел, равный А, то разность между функцией и значением ее предела бесконечно мала при х→х0 :

Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций

Свойства бесконечно малых функций

Свойства бесконечно больших функций

Сравнение бесконечно малых функций

Свойства эквивалентных бесконечно малых 1. α ~ β ↔ β ~ α (рефлексивность) 2. α ~ β, β ~ γ ↔ α ~ γ (транзитивность) 3. α ~ β → α = β +o(α) (эквивалентные бесконечно малые отличаются друг от друга на бесконечно малую высшего порядка). 4. Под знаком предела в отношении или произведении бесконечно малые можно заменять эквивалентными.

Основные теоремы о пределах О пределе постоянной. О единственности предела. Необходимые условия существования конечного предела: 3. О локальной ограниченности. 4. О локальном повторении функцией свойств предела. Достаточные условия существования конечного предела: 5. Об арифметике. 6. О промежуточной функции. 7. О пределе монотонной ограниченной функции.

Теорема об арифметике Теорема об арифметике

Замечательные пределы Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге (в радианах) равен 1: Следствия: Числовая последовательность имеет конечный предел, равный е: Следствия:

Вопросы к семинару 2. Числовая последовательность и ее предел. Предел функции в точке: определение по Гейне, по Коши. Односторонние пределы. Бесконечные пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства. Теорема о связи между функцией и ее пределом. Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций. Сравнение бесконечно малых функций. Свойства бесконечно малых функций. Основные теоремы о пределах: о пределе постоянной, о единственности предела, о локальной ограниченности, о локальном повторении функцией свойств предела, об арифметике, о промежуточной функции, о пределе монотонной ограниченной функции. Замечательные пределы.

Техника вычисления пределов