Теория статистических решений. Статистические игры. Игры с природой презентация

Теория статистических решений (Статистические игры. Игры с «Природой»)

Содержание раздела Основные понятия Игры без эксперимента Игры с единичным экспериментом Игры с многократным экспериментом Дерево решений при принятии решений в условиях неопределенности

Список использованных источников Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики. М.: Энергия,1980 – 424 с. Зайченко Ю.П. Исследование операций, Киев: Высшая школа, 1975, 1988, 1993, 2001 гг., Таха Х. Исследование операций. 1985, 2002. Исследование операций. Под ред. Моудера Дж., Эльмаграби С. М.: Мир, 1981г. (В 2-х томах) Общая методика конструирования критериев оптимальности решений в условиях риска и неопределенности / Финансовый менеджмент №5 / 2002 http://www.dis.ru/fm/arhiv/2002/5/10.html

Тема 1. Статистические игры. Основные понятия

1. Основные понятия теории статистических решений В основе теории антагонистических игр – предположение о том, что интересы двух игроков противоположны, что имеет место конфликтная ситуация. В таких играх игрок действует активно в противовес интересам других игроков (если игры не кооперативные)

1.1. Основные понятия теории статистических решений Во многих практических ситуациях - один из игроков нейтрален, т.е. не стремится обратить в свою пользу ошибки, совершаемые противником В таких ситуациях сторону, выступающую в качестве объективной реальности, т.е. совокупность внешних обстоятельств (имеющих случайный неопределенный характер), в которых приходится принимать решения, принято называть «природой»

1.1. Основные понятия теории статистических решений # Df 1. Модели ситуаций, в которых в качестве одного из противников выступает «природа» - называют играми с «природой» или статистическими играми

1.1. Основные понятия теории статистических решений # Df 2. Второй участник игры с «природой» - «статистик» или ЛПР «Природа» не совершает злого умысла по отношению к человеку («статистику») → «природу» нельзя рассматривать как разумного противника, который мог бы использовать ошибки, совершаемые «статистиком» → в игре с «природой» есть только задача «статистика», но нет задачи «природы»

1.1. Основные понятия теории статистических решений # Df 3. Задача «статистика» Необходимо: выработать (принять решение) с наибольшей для себя выгодой в условиях неопределенности (неполной информации) о поведении «природы» т.к. информация неполна, т.е. есть возможность принятия ошибочного решения, нужно выработать такое решение (стратегию), которое сводит к минимуму нежелательные последствия ошибочного решения

1.1. Основные понятия теории статистических решений # Df 3. Задача «статистика» Необходимо: учитывать то, что в некоторых ситуациях можно провести эксперимент (со стоимостными и временными затратами), поэтому нужен анализ: имеет ли смысл проводить эксперимент и каковы его характеристики

1.1. Основные понятия теории статистических решений # Df 4. Теория статистических решений (ТСтР) – это теория статистических игр (игр с «природой» ТСтР – это теория оптимального недетерминированного поведения в условиях неопределенности /МЭ, т.5, стр. 183/ ТСтР (более узко, с точки зрения математической статистики) - это теория проведения статистических наблюдений, их обработки и использования /Там же/

Теория статистических решений Современная общая концепция статистического решения принадлежит А.Вальду /Вальд А. Последовательный анализ. М. 1960/ Классическая задача математической статистики – на основе качественного описания распределения вероятностей некоторой случайной величины и результатов фиксированного числа наблюдений (измерений) случайной величины необходимо сделать вывод об оценке закона распределения (и выбрать оптимальное поведение)

Теория статистических решений Последовательный анализ Вальда - каждый дополнительный эксперимент имеет стоимость, ошибочное решение штрафуется. Необходимо построить решающее правило, оптимальное в том смысле, что минимизируется математическое ожидание всех убытков Применение последовательного анализа ведет к снижению необходимого числа наблюдений (экспериментов) В 1820 г. Лаплас уподобил получение статистической оценки азартной игре, в которой статистик терпит поражение, если его оценки плохи

Тема 2. Статистические игры без эксперимента Постановка задачи Подходы к решению

2. Игра без эксперимента. 2.1. Постановка задачи ДАНО (блок данных B): D = {d1,d2,…,dm} – множество стратегий «статистика» (ЛПР) S = {s1,s2,…sn} – множество состояний «природы» L(d,s) : {ai,j} – функция потерь (выигрышей) _______________________ Возможно ! ДАНО (блок B’): P(S) = (p1,p2,…,pn) – вероят-ности состояний «природы» _________________________ НАЙТИ: («чистую») стратегию поведения «статистика» (ЛПР)

Вопросы для обсуждения Какую исходную информацию в теории статистических игр можно считать объективной (экспертной), а какую субъективной? Понятие чистых и смешанных стратегий в антагонистических и статистических играх, что общего? В чем различие?

2. Игра без эксперимента. 2.2. Подходы к решению задачи Принцип Сэвиджа … Принцип Гурвица … Принцип Лапласа … Какие еще принципы (критерии) оптимальности используются в играх без эксперимента? Смысл их введения? Принцип максимального правдоподобия … Критерий «ожидаемое значение – дисперсия» … Критерий предельного уровня … … Таха Х. Исследование операций Лабскер Л.Г., Яновская Е.В. Общая методика конструирования критериев оптимальности решений в условиях риска и неопределенности // Финансовый менеджмент №5, 2002 [http://www.dis.ru/fm/arhiv/2002/5/10.html

2. Игра без эксперимента. 2.2. Подходы к решению задачи Принцип минимакса (критерий Вальда) d* : L (d*) = min max L(d,s) d s Принцип минимальных ожидаемых потерь (критерий Байеса) d* : ML (d*) = min ML (d), d где ML(d) = ∑ L(d,s)*P(s) =∑ai,j*pj s j - математическое ожидание потерь при выборе «статистиком» стратегии d

2. Игра без эксперимента 2.2. Подходы к решению задачи Комментарии к принципу Байеса /Таха Х./ Нецелесообразно использовать ожидаемое значение стоимостного выражения (выигрыша или потерь) [принцип Байеса] как единственный критерий для получения решения Этот критерий служит только ориентиром, а окончательное решение может быть принято лишь на основе всех существенных факторов Использование данного принципа предполагает многократное решение одной и той же задачи

2. Игра без эксперимента 2.2. Подходы к решению задачи Комментарии к принципу Байеса /Таха Х./ Математически это утверждение можно доказать следующим образом: если X – случайная величина, а М{X} – математическое ожидание X, то при достаточно большом объеме выборки разница между выборочным средним и математическим ожиданием стремится к нулю. Следовательно, использование данного критерия, допустимо лишь в случае, когда одно и тоже решение приходится принимать достаточно большое число раз ► Вывод !!: ориентация на ожидания будет приводить к неверным результатам для решений, которые приходится принимать небольшое число раз

2. Игра без эксперимента. 2.3. Дерево решений

Игра без эксперимента Вопросы для обсуждения Критерии или принципы оптимальности ? Как сформулировать ответ в терминах исходной задачи? Что общего и различного в принципах оптимальности в антагонистических и статистических играх? Чем это объясняется?