Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 1 семестр презентация

Высшая математика Лектор доцент Шинкевич Елена Алексеевна Кафедра ВМ: ауд. 430/2

Литература Дымков М.П., Конюх А.В., Майоровская С.В., Петрович В.Д., Рабцевич В.А. Высшая математика (1 семестр): Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. Мн.: БГЭУ, 2011. ─ 27 с. На сайте кафедры: http://bseu.by/hm/uchm/test/VM1.pdf В локальной сети БГЭУ:\\Arhive\UchebM\Естественнонаучные\Высшая математика

Тема 1: Элементы линейной алгебры §1. Матрицы

1.1. Основные понятия Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики – матричная алгебра имеют важное значение для экономистов, так как значительная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно простой, а главное – компактной матричной форме.

ОПР. Матрицей размера m×n называется прямоугольная таблица чисел (или других математических величин, объектов) из m строк и n столбцов: ОПР. Матрицей размера m×n называется прямоугольная таблица чисел (или других математических величин, объектов) из m строк и n столбцов:

Числа, образующие матрицу, называются элементами матрицы: – элемент, принадлежащий i-й строке и k-му столбцу матрицы, числа i, k называются индексами элемента. Числа, образующие матрицу, называются элементами матрицы: – элемент, принадлежащий i-й строке и k-му столбцу матрицы, числа i, k называются индексами элемента. Матрицы обозначаются A, B, C … .

Например, матрица A Например, матрица A имеет размерность

Пример Элемент

ОПР. Матрицы A и B одинаковых размеров называются равными, если равны их соответствующие элементы: ОПР. Матрицы A и B одинаковых размеров называются равными, если равны их соответствующие элементы:

Пример Дано:

ОПР. Квадратной матрицей n-го порядка называется матрица размера n×n. Обозначается ОПР. Квадратной матрицей n-го порядка называется матрица размера n×n. Обозначается В квадратной матрице элементы образуют главную диагональ.

Матрица размерности m×1 называется матрицей-столбцом. Матрица размерности m×1 называется матрицей-столбцом. Матрица размерности 1×n называется матрицей-строкой. Пример.

ОПР. Квадратная матрица называется диагональной, если ее элементы на главной диагонали не все равны нулю, а все остальные элементы равны нулю. ОПР. Квадратная матрица называется диагональной, если ее элементы на главной диагонали не все равны нулю, а все остальные элементы равны нулю. ОПР. Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной матрицей. Обозначается Матрица размера 1×1, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом:

1.2. Операции над матрицами К линейным операциям над матрицами относятся сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число. Складывать и вычитать можно только матрицы одинаковых размеров.

ОПР. Суммой (разностью) двух матриц ОПР. Суммой (разностью) двух матриц и называется такая матрица что т. е. матрица, элементы которой равны сумме (разности) соответствующих элементов матриц A и B.

Пример Найти A+B, A+C, B+C, если это возможно.

ОПР. Произведением матрицы на число (или числа на матрицу A) называется матрица , для которой ОПР. Произведением матрицы на число (или числа на матрицу A) называется матрица , для которой т. е. матрица, полученная из данной умножением всех ее элементов на число . Обозначение

Пример

ОПР. Произведением матриц ОПР. Произведением матриц и называется матрица C размера такая, что т. е. элемент i-й строки и j-гo столбца матрицы произведения равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B.

Операция умножения двух матриц определяется только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Операция умножения двух матриц определяется только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Если матрицы A и B квадратные одного размера, то произведения и всегда существуют, но не обязательно равны.

Пример Найти произведения матриц AB и BA (если это возможно):

Пример Найти произведения матриц AB и BA (если это возможно):

Произведение не существует, так как число столбцов матрицы B не совпадает с числом строк матрицы A .

ОПР. Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной относительно данной. Матрицу, транспонированную относительно матрицы A, обозначают ОПР. Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной относительно данной. Матрицу, транспонированную относительно матрицы A, обозначают

Свойства

Элементарные преобразования матриц Перестановка местами двух рядов матрицы; Умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля; Прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и тоже число. Под рядом матрицы понимается строка или столбец матрицы.

ОПР. Две матрицы A и B называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. ОПР. Две матрицы A и B называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Записывают:

§2. Определители Любой квадратной матрице n-го порядка A можно поставить в соответствие число, которое называется определителем матрицы A, и обозначается , , (дельта). Определителем 1-го порядка квадратной матрицы называется значение :

Определителем квадратной матрицы 2-го порядка Определителем квадратной матрицы 2-го порядка называется число, равное обозначаемое символом

Пример Вычислить определитель 1. 2.

Определителем квадратной матрицы 3-го порядка Определителем квадратной матрицы 3-го порядка называется число

Пример Вычислить определитель:

ОПР. Минором элемента ОПР. Минором элемента квадратной матрицы A n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. ОПР. Алгебраическим дополнением элемента квадратной матрицы называется произведение

Пример В матрице минором элемента является минором элемента является

§3. Обратная матрица Пусть A — квадратная матрица n-го порядка. ОПР. Квадратная матрица A называется невырожденной, если определитель detA не равен нулю: В противном случае ( ) матрица A называется вырожденной.

ОПР. Матрицей, присоединенной к матрице называется матрица ОПР. Матрицей, присоединенной к матрице называется матрица где — алгебраическое дополнение элемента данной матрицы A. Матрица называется обратной к квадратной матрице A, если выполняется условие где E — единичная матрица того же порядка, что и матрица A.

Матрица имеет те же размеры, что и матрица A. Теорема 1. Всякая невырожденная матрица имеет обратную (и причем только одну).

Алгоритм вычисления обратной матрицы 1. Находим определитель исходной матрицы. Если , то матрица A вырожденная и обратной матрицы не существует. Если , то матрица невырожденная и обратная матрица существует. 2. Находим матрицу , транспонированную к матрице А.

3. Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы и из них составляем присоединенную матрицу 3. Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы и из них составляем присоединенную матрицу 4. Вычисляем обратную матрицу по формуле: 5. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы

Пример Вычислить обратную матрицу для матрицы Решение. Найдем определитель: Обратная матрица существует.

Присоединенная матрица имеет вид: Присоединенная матрица имеет вид: Тогда обратная матрица:

Проверка: Проверка:

§4. Матричные уравнения Матричные уравнения простейшего вида с неизвестной матрицей X записываются следующим образом В этих уравнениях A, B, X ― матрицы таких размеров, что все используемые операции умножения возможны, и с обеих сторон от знака равенства находятся матрицы одинаковых размеров.

Если в уравнениях Если в уравнениях матрица A невырожденная, то их решения записываются следующим образом Если то Если то

Пример Решить матричное уравнение: Решение. Запишем данное матричное уравнение в виде . Его решением является матрица (если существует матрица ). Найдем обратную матрицу. 1) Найдем определитель матрицы :

Значит, обратная матрица существует, и исходное уравнение имеет единственное решение. Значит, обратная матрица существует, и исходное уравнение имеет единственное решение. Запишем решение уравнения:

Ранг матрицы Рассмотрим матрицу размера m×n. Выделим в ней k строк и k столбцов, Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-го порядка. Все такие определители называются минорами этой матрицы и обозначаются

ОПР. Рангом матрицы A называется наивысший порядок отличного от нуля минора матрицы. ОПР. Рангом матрицы A называется наивысший порядок отличного от нуля минора матрицы. Обозначают: Очевидно, что