Функція розподілу випадкової величини та її головні характеристики. Нормальний розподіл презентация

Функція розподілу випадкової величини та її головні характеристики. Нормальний розподіл Дискретні та неперервні випадкові величини. Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини: (приклади: біноміальний розподіл, розподіл Пуассона) Математичне сподівання, дисперсія і середньоквадратичне відхилення дискретної випадкової величини, їх властивості. Властивості розподілів неперервної випадкової величини. Нормальний розподіл. Вплив параметрів нормального розподілу на форму нормальної кривої. Обчислення ймовірності заданого відхилення. Правило трьох сигм.

1. Дискретні та неперервні випадкові величини дискретна ВВ – ВВ, яка приймає окремі, ізольовані можливі значення з певними ймовірностями Кількість можливих значень – скінчена або нескінченна

2. Закон розподілу ймовірностей ДВВ Закон розподілу ДВВ – відповідність між можливими значеннями ВВ і їх ймовірностями. Задається: графічно, аналітично, таблично:

Приклад: Умова: У клітці 20 щурів: 1 – білий, 10 – сірих і 9 чорних. Навмання витягли 1 щура. Знайти закон розподілу для випадкової величини Х – кольору щура

Біноміальний розподіл Нехай проводять n незалежних випробувань; ймовірність появи події А у кожному з них р (не появи – q=1-p). Ймовірність появи події А рівно k разів у n випробуваннях:

Найімовірніше число появи події А у випадку біноміального розподілу:

Приклад: Умова: У сім’ї народилась трійня. Знайти закон розподілу кількості хлопчиків, коли ймовірність народження хлопчика = 0,51

Функція БИНОМРАСП:

Той же приклад, але на Excel:

Розподіл Пуассона Він є - випадок з біноміального розподілу (коли р – дуже мале значення, а n – велике), ймовірність появи рівно k разів події А у n випробуваннях: а – найімовірніше число появи події А

Приклад: Умова: Підручник зі статистики видано тиражем 5 000 примірників. Ймовірність неправильного брошурування = 0,0006. а) Яка ймовірність, що 4 книги буде неправильно зброшуровано? б) Яка найімовірніша кількість книг буде бракованою? Яка її ймовірність?

Той же приклад на Excel:

3. Числові характеристики ДВВ і їх властивості Математичне сподівання – це характеристика середнього значення ВВ; - це сума добутків всіх можливих значень ДВВ на їх ймовірності:

Дисперсія: - характеристика розсіяння можливих значень ВВ навколо М(Х) - це математичне сподівання квадрату відхилень ВВ від її математичного сподівання:

Середнє квадратичне відхилення: - характеристика розсіяння можливих значень ВВ навколо М(Х) - це квадратний корінь з дисперсії

Приклад: Знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення для даних ймовірності появи хлопчиків у трійні:

3. Неперервні ВВ. Нормальний розподіл. Випадкова величина Х є нормально розподіленою, коли її функція густини (значення ймовірності рі будь-якого хі знаходиться в інтервалі (х + dx)) має вигляд:

Нормальний розподіл (продовження): Ймовірність влучення в будь-який інтервал (a; b) нормально розподіленої випадкової величини розраховується:

Нормальний розподіл (продовження): Ймовірність того, що абсолютна величина відхилення менше додатного числа у Правило 2 та 3 σ(2 і 3 сигм) : 95,45% і 99,73% всіх незалежних спостережень з нормальної сукупності лежить, відповідно, в зоні 2 і 3 стандартних відхилень від середнього значення.

Приклад: Математичне сподівання нормально розподіленої випадкової величини Х дорівнює 3, середньоквадратичне відхилення = 2. Написати густину ймовірності Х.

Приклад: Математичне сподівання і середньоквадратичне відхилення нормально розподіленої випадкової величини Х, відповідно, дорівнюють 10 і 2. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування Х прийме значення, яке буде міститись в інтервалі (12, 14).

Приклад: Зважують речовину без систематичних похибок. Випадкові похибки зважування підкорюються нормальному закону з середньоквадратичним відхиленням 20 мг. Знайти ймовірність того, що зважування буде здійснене з похибкою, яка не перевищить за абсолютною величиною 10 мг.