Вневписанная окружность

Содержание


Презентации» Геометрия» Презентация Вневписанная окружность
Доклад на тему: «Вневписанная окружность»
 Номинация: математика
 Выполнили:
 Коляда Валентина
 АфонинаСодержание
 Введение.         Глава 1. Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается однойЦентр вневписанной окружности в треугольник есть точка пересечения биссектрисы внутреннего углаРасстояние от вершины угла треугольника до точек касания вневписанной окружности соГлава 2. § 1. Радиус вневписанной окружности. Касающейся сторон данного внутреннего§ 2. Радиус вневписанной окружности, касающейся данной стороны треугольника, равен отношениюГлава 3. § 1 Сумма радиусов вневписанных окружностей равна сумме радиуса§ 2. Сумма величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, равна величине, обратной§ 3. Сумма всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей равна квадрату§ 4. Произведение всех трех радиусов вневписанных окружностей равно произведению радиусаСледствие 1. Площадь треугольника равна отношению произведения всех трех радиусов вневписанныхСледствие 2. Площадь треугольника равна квадратному корню из произведения всех трех§ 5. Величина, обратная высоте треугольника, опущенной на его данную сторону,3. Заключение.
 Рассмотренные свойства позволили установить связь между радиусами вписанной и



Слайды и текст этой презентации
Слайд 1
Описание слайда:
Доклад на тему: «Вневписанная окружность» Номинация: математика Выполнили: Коляда Валентина Афонина Екатерина ученицы 9м класса гимназии № 22 научный руководитель учитель высшей категории Плеснявых Елена Аслановна


Слайд 2
Описание слайда:
Содержание Введение. Основная часть Глава 1. Определение вневписанной окружности. Центр вневписанной окружности. Касательная к вневписанной окружности. Глава 2. Формулы для вычисления радиусов вневписанных окружностей. § 1. Соотношение между радиусом вневписанной окружности и периметром треугольника § 2. Соотношение между радиусом вневписанной окружности, площадью и периметром треугольника Глава 3. Некоторые соотношения с радиусами вневписанных окружностей. § 1. Выражение суммы радиусов вневписанных окружностей через радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности § 2. Выражение суммы величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, через величину обратную радиусу вписанных окружностей. § 3. Выражение суммы всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей через квадрат полупериметра треугольника. § 4. Выражение произведения радиусов вневписанных окружностей через произведение радиуса вписанной окружности и квадрат полупериметра треугольника. § 5. Выражение высоты треугольника через радиусы вневписанных окружностей. Заключение. Библиография.

Слайд 3
Описание слайда:
Глава 1. Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторон

Слайд 4
Описание слайда:
Центр вневписанной окружности в треугольник есть точка пересечения биссектрисы внутреннего угла треугольника, противолежащего той стороне треугольника, которой окружность касается, и биссектрис двух внешних углов треугольника (1) Дано: АВС Окр. (О; r) М, N, К – точки касания Доказать (1) Решение: Т. к. окружность касается сторон угла САК, то центр окружности О равноудален от сторон этого угла, следовательно, он лежит на биссектрисе угла САК. Аналогично, точка О лежит на биссектрисе угла АСN. Т. к. окружность касается прямых ВА и ВС, то она вписана в угол АВС, а значит её центр лежит на биссектрисе угла АВС. Ч.т. д.

Слайд 5
Описание слайда:
Расстояние от вершины угла треугольника до точек касания вневписанной окружности со сторонами этого угла равны полупериметру данного треугольника АВ1 = АС1 = p Дано: АВС Вневписанная окр. (Оа; ra ) Доказать, что АВ1 = АС1 = p Доказательство: Т.к. Оа - центр вневписанной окружности. Касательные, прове - денные к окружности из одной точки, равны между собой, поэтому ВВ1 = ВА1 , СА1 = СС1 , АВ1 = АС1. Значит, 2p = (AC + СА1) + (AB + ВА1) = (AC + CC1) + (AB + BB1) = AC1 + AB1 = 2AC1 = 2AB1 т.е. АВ1 = АС1 = p.

Слайд 6
Описание слайда:
Глава 2. § 1. Радиус вневписанной окружности. Касающейся сторон данного внутреннего угла треугольника, равен произведению полупериметра треугольника на тангенс половины этого угла, т. е. ra = ptg , rb = ptg , rc = ptg (2) Дано: АВС Вневписанная окр. (Оа ; ra) Доказать (2) Решение: В прямоугольном треугольнике А Оа С1 ra и p – длины катетов, угол Оа А С1 равен , поэтому ra = ptg .

Слайд 7
Описание слайда:
§ 2. Радиус вневписанной окружности, касающейся данной стороны треугольника, равен отношению площади треугольника к разности полупериметра и этой стороны. т.е. ra = , rb = , rc = (3) Дано: АВС Вневписанная окр. (Оа ; ra) Доказать (3) Решение: Имеем S = SABC = SAOaC + SBOaC – SBOaC = × (b + c – a) = ra× (p – a), т.е. ra =

Слайд 8
Описание слайда:
Глава 3. § 1 Сумма радиусов вневписанных окружностей равна сумме радиуса вписанной окружности и удвоенного диаметра описанной окружности, т. е. ra + rb + rc = r + 4R Доказательство: Выразим все радиусы через стороны, площадь и полупериметр треугольника: r = , R = , ra = , rb = , rc = Значит, ra + rb + rc – r = + + - = = = = = = 4R

Слайд 9
Описание слайда:
§ 2. Сумма величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, равна величине, обратной радиусу вписанной окружности, т. е. Доказательство: Используем выражения радиусов через стороны и площадь треугольника: r = , R = , ra = , rb = , rc = Значит,

Слайд 10
Описание слайда:
§ 3. Сумма всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей равна квадрату полупериметра треугольника, т. е. rarb + rbrc + rcra = p2 Доказательство: Воспользуемся формулами ранее доказанных радиусов через стороны и площадь треугольника: r = , ra = , rb = , rc = Подставим Из формулы Герона следует (p – a)(p – b)(p – c) = , поэтому

Слайд 11
Описание слайда:
§ 4. Произведение всех трех радиусов вневписанных окружностей равно произведению радиуса вписанной окружности на квадрат полупериметра треугольника, т.е. rarbrc = rp2 Доказательство: Из ранее доказанных формул для радиусов и формулы Герона ra = , rb = , rc = , Тогда

Слайд 12
Описание слайда:
Следствие 1. Площадь треугольника равна отношению произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей к полупериметру треугольника, т.е. Доказательство: Из rarbrc = rp2 = rp × p = Sp. Следовательно

Слайд 13
Описание слайда:
Следствие 2. Площадь треугольника равна квадратному корню из произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей и радиуса вписанной окружности, т.е. Доказательство: Из следствия 1, что и равенства S = pr, получаем, перемножая их почленно, . Значит

Слайд 14
Описание слайда:
§ 5. Величина, обратная высоте треугольника, опущенной на его данную сторону, равна полусумме величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, касающихся двух других сторон треугольника, т.е. , , Доказательство: Воспользуемся формулами , Значит, ,

Слайд 15
Описание слайда:
3. Заключение. Рассмотренные свойства позволили установить связь между радиусами вписанной и вневписанной окружностями, между радиусами вневписанной окружностью и площадью треугольника, между радиусами вневписанных окружностей и периметром треугольника. Данный материал выходит за рамки школьной программы и будет полезен учащимся увлеченным математикой.


Презентация на тему Вневписанная окружность доступна для скачивания ниже:

Похожие презентации