Название презентации

Математическая логика Формы мышления

Связь логики и вычислительной техники Логика является теоретической основой современных ЭВМ и сложных управляющих систем. Используя методы и средства логической науки, ученые разрабатывают эффективные языки программирования. Особое значение логическая наука стала приобретать в вопросах, касающихся проблемы искусственного интеллекта. Именно здесь разработчикам пришлось создать новую область логических исследований – логический анализ.

Связь логики и вычислительной техники Внутри машины все числа (а так же информация другого рода: буквы, знаки и др.) представлена в виде двоичных кодов. При выполнении программы арифметическо-логическое устройство (АЛУ) производит различные операции над двоичными числами, выдавая результаты также в виде двоичных чисел. Поэтому АЛУ можно рассматривать как сложный функциональный преобразователь, на вход которого поступают исходные двоичные числа, а на выходе выдаётся новое двоичное число, являющееся той или иной функцией от входных чисел.

Логика. Запишите определение логики: Опр: Логика – (logos (др. гр.) – слово, мысль, понятие, закон, рассуждение) – наука о законах и формах мышления. Основоположник – Аристотель (384-322гг до н.э). Рассмотрел мышление со стороны строения, структуры, т.е. с формальной стороны. Так возникла формальная логика.

Логика. Формальная логика – наука, пытавшаяся найти ответ на вопрос, как мы рассуждаем, изучающая логические операции и правила мышления. Основоположник математической логики – нем.математик, философ Вильгельм Лейбниц (XVII в.). Первый пытался построить логические исчисления: арифметические и буквенно-алгебраические; высказал мысль о возможности применения двоичной СС в вычислительной математике. Дальнейшее развитие его идеи получили лишь в XIXв. В трудах математика Джорджа Буля, отца писательницы Э. Войнич. Он вывел для логических построений особую алгебру – алгебру логики. Опр: Раздел математики, занимающийся исследованием логических функций, называется алгеброй логики.

Вильгельм Готфрид Лейбниц Вильгельм Готфрид Лейбниц родился в 1646 году в семье философа, профессора университета в городе Лейпциге. Став взрослым и получив университетское образование, Лейбниц поступил на дипломатическую службу. Поездки в Париж и Лондон дали ему возможность ознакомиться с идеями великих математиков Франции и Англии. В 1676 году Лейбниц завязал переписку с Ньютоном. К сожалению, она продолжалась только год и не привела к объединению усилий. Научное соперничество и взаимная неприязнь Ньютона и Лейбница породили вопрос, который много лет волновал историков и политиков: кто же все-таки был первооткрывателем? Вероятно, Ньютон придумал основные понятия дифференциального и интегрального исчислений чуть раньше - зато Лейбниц первым опубликовал свои результаты, и к тому же применил более удобную, чем у Ньютона, систему обозначений. Эти обозначения математики используют уже более трёхсот лет.

Аристотель АРИСТОТЕЛЬ (ок. 384–322 до н.э.), древнегреческий философ и педагог, родился в Стагире в 384 или 383 до н.э., умер в Халкиде в 322 до н.э. Почти двадцать лет Аристотель учился в Академии Платона и, по-видимому, какое-то время там преподавал.

Джордж Буль Родился в семье рабочего. Первые уроки математики получил у отца. Хотя мальчик посещал местную школу, его можно считать самоучкой. В 12 лет знал латынь, затем овладел греческим, французским, немецким и итальянским языками. В 16 лет уже преподавал в деревенской школе, а в 20 открыл собственную школу в Линкольне.

Логика. Главная задача логики - выявить, какие способы рассуждения правильные, а какие нет; описать и исследовать те способы рассуждений, которые являются правильными. Пример неправильного рассуждения …

Основные понятия логики. Логика рассматривает три различные формы мышления, в которых осуществляется мышление: понятие, суждение, умозаключение. Запишите определение: Понятие – мысль, в которой обобщаются и выделяются предметы некоторого класса по определенным, общим и в совокупности специфическим для них признакам.

Основные понятия логики. Каждая мысль выражается словами в предложении, которые представляют собой различные суждения (высказывания): Запишите определение: Суждением (высказыванием) называется всякое утверждение (или всякое предложение), о котором можно судить, истинно оно или ложно. Истинное высказывание обозначается - 1, ложное - 0 «6 - четное число» - это высказывание, т.к. оно истинное. «Рим - столица Франции» - это тоже высказывание т.к. оно ложное.

Основные понятия логики. Запишите определение: Умозаключение – форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений (предпосылок, условий) выводится новое суждение (заключение, вывод).

Вывод умозаключений Путь вывода умозаключений лежит через … Рассуждение – это цепочка взаимосвязанных суждений, фактов и общих положений по определенным правилам вывода.

Основные понятия логики. Примеры: Параллелограмм – это 4-х угольник, у которого противоположные стороны параллельны. В параллелограмме противоположные углы равны. Если в 4-х угольнике две стороны параллельны и равны, то этот 4-х угольник – параллелограмм. Назовите к каким формам мышления относится каждое предложение. В умозаключении назовите условие и заключение. Приведите свои примеры понятия, суждения, умозаключения.

Основные понятия логики. Но не всякое предложение является высказыванием. Например предложения «ученик десятого класса» и «информатика - интересный предмет» не являются высказываниями. Первое предложение ничего не утверждает об ученике. Второе использует слишком неопределенное понятие «интересный предмет».

Основные понятия логики. Высказываниями не являются: 1. Предложения, содержащие переменные, так как нам не известно, какое значение принимает переменная и, соответственно, неизвестно будет истинным это предложение или ложным. 2. Восклицательные и вопросительные предложения, это не повествовательные предложения. 3. Определения. мы не можем судить о том истинно такое предложение или ложно, ведь определение – это мы что-то так назвали и расшифровали, что это такое. Кто-то может сказать, что это не так и придумать своё определение.

Основные понятия логики. Предложения типа «в городе А более миллиона жителей», «у него голубые глаза» не являются высказываниями, так как для выяснения их истинности или ложности нужны дополнительные сведения, о каком конкретно городе или человеке идет речь. Такие предложения называются высказывательными формами . Высказывательная форма - это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями.

Основные понятия логики. Рассмотрим примеры: 1. 50 · 4 (не является высказыванием – нельзя сказать 1 или 0) 2. 50 = 42 + 8 (высказывание, 1) 3. Я сижу за компьютером (высказывание, 1) 4. В атаку! (не является высказыванием - восклицательное) 5. 5х – 6 = 9 (не является высказыванием – есть переменная) 6. 9 > 12 (высказывание, 0) 7. х < 43 (не является высказыванием – есть переменная) 8. Здравствуйте (не является высказыванием – нельзя сказать 1 или 0) 9. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат на одной плоскости и не пересекаются (не является высказыванием, так как определение)

Задание 1. Какие из предложений являются суждениями и каково их значение истинности? а) «Сижу и смотрю» б) «Верно ли, что  = 3,1415926…?» в) «математическое доказательство» г) «z+5=45» д) «20+30+40+10=100»

Задание 2: Приведите примеры: а) истинного и ложного высказываний; б) предложения, не являющегося высказыванием; с) высказывательной формы. (запишите в тетрадь)

Задание 3. Из представленных суждений получите третье в виде умозаключения: А = «Сумма цифр трехзначного числа равна 7» B = «Цифры десятков и единиц одинаковы»

Виды суждений

Виды суждений

Примеры Рассмотрим примеры простых и сложных высказываний: 1. На улице хорошая погода (простое) 2. Когда я пойду домой, по дороге куплю хлеб (сложное, состоит из двух простых: «я пойду домой» и «я по дороге куплю хлеб») 3. Если из двух вычесть пять, то получится восемь (простое: «из двух вычесть пять» и «получится восемь» – сами по себе не являются высказываниями) 4. Если 2+3=5 - истина, то 5=2+3 – тоже истина (сложное: «2+3=5 - истина» и «5=2+3 – тоже истина»).

Задание 4. Укажите, какие из суждений являются частными, а какие общими, укажите значение истинности для каждого суждения: а) (x + y) (x – y) = x2 – y2 б) «Любой ромб является параллелограммом» в) «a3=a2, если a=1» г) 32 + 22 = 52 д) «Меркурий – спутник Марса» е) «Джордано Бруно – ученик Галилео Галилея»

Задание 5. Из сложных суждений выделите простые и обозначьте их буквами: а) Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. б) Есть мера вещей и существуют известные границы (афоризм Горация) в) Студент запланировал выполнить следующие дела: подготовиться к зачету, побывать на тренировке, почитать книгу. г) Если завтра будет туман, мы не сможем вылететь на соревнования

Домашнее задание. § 3.1 Конспект урока. Примеры: а) определения, суждения, умозаключения; б) предложения, не являющегося суждением; в) частного и общего суждения; г) простого и сложного суждения.

Алгебра суждений

Повторение Что такое логика, ее главная задача. Что такое понятие, суждение, умозаключение, рассуждение? Какие значения могут принимать суждения? Какие суждения называют частными и общими? Что такое простое и сложное высказывание? Приведите примеры.

Рассмотрим следующие примеры сложных высказываний и связь между простыми высказываниями: Рассмотрим следующие примеры сложных высказываний и связь между простыми высказываниями: 1. Если 12 делится на 6, то делится и на 3 (простые высказывания: «12 делится на 6» и «12 делится на 3»; связь «если, то»). 2. На улице льёт дождь или светит солнце (простые высказывания: «на улице льёт дождь» и «на улице светит солнце»; связь «или») 3. Дома отключили свет и воду (простые высказывания: «дома отключили свет» и «дома отключили воду»; связь «и») 4. Два числа равны тогда и только тогда, когда их разность не равна нулю (простые высказывания: «два числа равны» и «разность двух чисел не равна нулю»; связь «тогда и только тогда, когда» и «не»)

Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания «не», «и», «или», «если …, то», «тогда и только тогда» и другие позволяют из уже заданных высказываний строить сложные высказывания. Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания «не», «и», «или», «если …, то», «тогда и только тогда» и другие позволяют из уже заданных высказываний строить сложные высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками. Иначе они называются ...

Основные логические операции I. Инверсия. II. Конъюнкция. III. Дизъюнкция. IV. Строгая дизъюнкция. V. Импликация VI. Эквивалентность.

ИНВЕРСИЯ Обозначение: Ā, not A. Пример: А - Дождя не будет Ā - Неверно, что дождя не будет

Задание 2:

КОНЪЮНКЦИЯ Обозначения: &, and, ,•. Пример: А - Дождя не будет. В - Небо голубое. А&В - Дождя не будет и небо голубое.

Задание 3: а) Приведите примеры двух высказываний и получите составное высказывание используя логическую связку «И». б) Определите истинность или ложность каждого из трех высказываний

ДИЗЪЮНКЦИЯ Обозначения: OR, V, + Пример: А - Дождя не будет. В - Небо голубое. А V В - Дождя не будет или небо голубое.

Задание 4: а) Приведите примеры двух высказываний и получите составное высказывание используя связку «ИЛИ». б) Определите истинность или ложность каждого из трех высказываний.

Порядок выполнения логических операций: НЕ. И ИЛИ Если есть скобки, то сначала выполняются действия в скобках

Пример. Составьте таблицу истинности. _ _ X = (A & B ) V ( A & B)

Пример. Составьте таблицу истинности. ______ X = (A & B V C) V ( A & C)

Самостоятельно. Составьте свое выражение, состоящее из 2 или 3 высказываний, с использованием всех рассмотренных логических операций.

Итог: Вы познакомились с основными понятиями алгебры логики. Рассмотрели элементарные логические операции. Разобрали для каждой логической операции таблицу истинности.

Домашнее задание § 3.2 № 3.1.

Алгебра суждений Продолжение (2 урок)

СТРОГАЯ ДИЗЪЮНКЦИЯ Обозначения: XOR Пример: А - Дождя не будет. В - Небо голубое. А xor В - Либо дождя не будет, либо небо голубое.

Задание 5: а) Приведите примеры двух высказываний и получите составное высказывание используя связку «ЛИБО, ЛИБО». б) Определите истинность или ложность каждого из трех высказываний

ИМПЛИКАЦИЯ Обозначения:  Пример: А - Дождя не будет. В - Небо голубое. А  В - Если дождя не будет, то небо голубое.

Задание 6: а) Приведите примеры двух высказываний и получите составное высказывание используя связку «ЕСЛИ, ТО...». б) Определите истинность или ложность каждого из трех высказываний

ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ Обозначения:  Пример: А - Дождя не будет. В - Небо голубое. АВ - Дождя не будет тогда и только тогда, когда небо голубое.

Задание 7: а) Приведите примеры двух высказываний и получите составное высказывание используя связку. б) Определите истинность или ложность каждого из трех высказываний