Понятие предела функции презентация

Понятие предела функции

Определение  Пусть функция f, принимающая действительные значения, определена в некоторой окрестности точки x0, кроме, быть может, самой точки x0.  Функция f имеет предел в точке x0,  если для любой последовательности точек xn, n = 1, 2,..., xn ≠ x0, стремящейся к точке x0,  последовательность значений функции f (xn) сходится к одному и тому же числу А,  которое и называется пределом функции f в точке x0, (или при x → x0) при этом пишется

Определение Число А называется пределом функции f в точке x0, если для любого числа ε > 0 существует такое число δ > 0, что для всех точек х ≠ x0, удовлетворяющих условию |х — x0| < δ, x ≠ x0, выполняется неравенство |f (x) — A| < ε.

Все основные элементарные функции: постоянные, степенная функция (хα),   показательная функция (ax), тригонометрические функции  (sinx, cosx, tgx и ctgx) и обратные тригонометрические функции  (arcsinx, arccosx, arctgx и arcctgx) во всех внутренних точках своих областей определения имеют пределы, совпадающие с их значениями в этих точках.  Все основные элементарные функции: постоянные, степенная функция (хα),   показательная функция (ax), тригонометрические функции  (sinx, cosx, tgx и ctgx) и обратные тригонометрические функции  (arcsinx, arccosx, arctgx и arcctgx) во всех внутренних точках своих областей определения имеют пределы, совпадающие с их значениями в этих точках. 

Примеры функций, имеющих предел в точке

Свойства предела функции в точке

Вычисление предела функции в точке

Раскрытие неопределенности При нахождении предела иногда сталкиваются с неопределенностями вида Отыскание предела в таких случаях называется раскрытием неопределенности.

Замечательные пределы первый замечательный предел второй замечательный предел

Примеры

Односторонние пределы Число A1 называется пределом функции f (x) слева в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех    выполняется неравенство   При х приближающихся к а слева, значения функции стремятся к А1 

Предел функции  справа Число A2 называется пределом функции f (x) справа в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех    выполняется неравенство  При х приближающихся к а справа, значения функции стремятся к А2